Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir.
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Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear. A transformação dada é
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema do Rango), para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo (
) é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida (
) que são mapeados para o vetor zero em
. Já a imagem (
) é o conjunto de todos os vetores em
que são resultados da transformação de vetores de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema nos diz que:
Isso significa que a soma das dimensões do núcleo e da imagem é igual à dimensão do espaço de partida, que nesse caso é 8.
Passo 4
Vamos descobrir os valores máximos e mínimos para a dimensão da imagem (
). A dimensão da imagem não pode ser maior que a dimensão do espaço de chegada (
), então o valor máximo é 6. O valor mínimo acontece quando a transformação leva todo o espaço para o vetor zero, ou seja, a imagem tem dimensão 0.
Passo 5
Agora, usando o Teorema do Núcleo e da Imagem, podemos encontrar a dimensão do núcleo (
). Se a dimensão da imagem for max (6), então:
Se a dimensão da imagem for min (0), então:
Portanto, a dimensão do núcleo varia de 2 a 8.
Resposta
- Dimensão mínima do núcleo: 2
- Dimensão máxima do núcleo: 8
- Dimensão mínima da imagem: 0
- Dimensão máxima da imagem: 6