Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir.
T: R^8 R^6,

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear. A transformação dada é T: R^8 R^6 . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema do Rango), para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo ( Ker(T)) é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida ( R^8) que são mapeados para o vetor zero em R^6. Já a imagem ( Im(T)) é o conjunto de todos os vetores em R^6 que são resultados da transformação de vetores de R^8.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema nos diz que:
dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^8) = 8
Isso significa que a soma das dimensões do núcleo e da imagem é igual à dimensão do espaço de partida, que nesse caso é 8.

Passo 4

Vamos descobrir os valores máximos e mínimos para a dimensão da imagem ( Im(T)). A dimensão da imagem não pode ser maior que a dimensão do espaço de chegada ( R^6), então o valor máximo é 6. O valor mínimo acontece quando a transformação leva todo o espaço para o vetor zero, ou seja, a imagem tem dimensão 0.

Passo 5

Agora, usando o Teorema do Núcleo e da Imagem, podemos encontrar a dimensão do núcleo ( Ker(T)). Se a dimensão da imagem for max (6), então:
dim(Ker(T)) = 8 - 6 = 2
Se a dimensão da imagem for min (0), então:
dim(Ker(T)) = 8 - 0 = 8
Portanto, a dimensão do núcleo varia de 2 a 8.

Resposta

  • Dimensão mínima do núcleo: 2
  • Dimensão máxima do núcleo: 8
  • Dimensão mínima da imagem: 0
  • Dimensão máxima da imagem: 6

Exercícios relacionados