Determine os valores máximos e mínimos da função f(x)=raiz[3](x^2-9)^2, no intervalo [-4,4].

Passo 1

A questão pede pra gente achar os valores máximos e mínimos da função f(x) = raiz[3](x^2 - 9)^2 no intervalo fechado [-4,4]. O conteúdo envolvido é o estudo de extremos em funções definidas em intervalo fechado: precisamos calcular derivada, achar pontos críticos e comparar com os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Reescrevemos a função de forma mais simples: como raiz[3](x^2 - 9)^2 = |x^2 - 9|^2/3, a função é sempre não-negativa e contínua em todo R. Assim, podemos estudar o sinal de x^2 - 9 para derivar de forma adequada.

Passo 3

Encontramos a derivada de f em cada região: para |x|>3 temos f(x)=(x^2-9)^2/3 com derivada f'(x) = tfrac4x3(x^2-9)^-1/3; e para |x|<3 temos f(x)=(9-x^2)^2/3 com derivada f'(x) = -tfrac4x3(9-x^2)^-1/3. Os pontos críticos surgem quando f'(x)=0 ou derivada não existe, isto é, em x=0 e x=pm 3.

Passo 4

Calculamos f nesses pontos e também nos extremos do intervalo:
f(0) = 9^2/3, f(pm 3) = 0, f(pm 4) = 7^2/3

Passo 5

Comparando esses valores vemos que o mínimo de f é 0 atingido em x=pm 3, e o máximo de f é 9^2/3 atingido em x=0.

Resposta

Mínimo de f: 0 em x=pm 3. Máximo de f: 9^2/3 em x=0.

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