Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=2 x^2-8 x y+y^4-4 y^3.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os pontos críticos de
f(x,y)=2x^2-8xy+y^4-4y^3
e, em seguida, classifique cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Para isso vamos usar duas ferramentas principais:
1. Resolver nabla f=(0,0) para achar os pontos críticos.
2. Calcular o Hessiano de f e usar o teste do determinante para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas parciais:
partial fpartial x=4x-8y, partial fpartial y=-8x+4y^3-12y^2
Igualando-as a zero:
4x-8y=0Longrightarrow x=2y,
-8x+4y^3-12y^2=0Longrightarrow -8(2y)+4y^3-12y^2=0
Longrightarrow 4y^3-12y^2-16y=4y,(y^2-3y-4)=4y,(y-4),(y+1)=0
Logo as soluções são
y=0,;4,;-1 e x=2y,
isto é, os pontos críticos são
(0,0), (8,4), (-2,-1)

Passo 3

Agora montamos o Hessiano de . As segundas derivadas são
O determinante de em é

Passo 4

Avaliamo-s D e fxx em cada ponto cr’itico para decidir:
1. Em (0,0):
D(0,0)=48cdot 0 - 96 cdot 0 - 64 = -64 < 0
logo 'e ponto de sela.
2. Em (8,4):
D(8,4)=48 cdot 16 - 96 cdot 4 - 64 = 768 - 384 - 64 = 320 > 0, fxx = 4 > 0
logo 'e m’inimo local.
3. Em (-2,-1):
D(-2,-1) = 48 cdot 1 - 96 cdot (-1) - 64 = 48 + 96 - 64 = 80 > 0, fxx = 4 > 0
logo 'e tamb’em m’inimo local.
N~ao h’a ponto em que D > 0 e fxx < 0, ent~ao n~ao existem m’aximos locais.

Resposta

Pontos de sela: (0,0)
Mínimos locais: (8,4) e (-2,-1)
Máximos locais: nenhum.

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