Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
y^2 d t+t^2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
y^2,dt + t^2,dy = 0,
ou seja, M(t,y)=y^2 e N(t,y)=t^2. O objetivo é testar se
M(t,y),dt + N(t,y),dy=0
é exata, isto é, se existe uma função Psi(t,y) tal que
partial Psipartial t=M e partial Psipartial y=N

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(y^2r) =2y,
partial Npartial t =partialpartial tl(t^2r) =2t

Passo 3

Para a equação ser exata precisamos de
partial Mpartial y ;=; partial Npartial t
Aqui temos 2yneq 2t em geral, logo a equação não é exata.

Resposta

A equação y^2,dt + t^2,dy=0 não é exata.

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