Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, resolver ela. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar se uma equação dada é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se a equação dada é exata, a gente precisa checar se:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
E agora calculamos
:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas derivadas que calculamos:
Como
, isso significa que a equação diferencial é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Passo 7
Fazendo a integração:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 8
Agora, vamos usar a segunda condição
. Calculamos:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 9
Então, a função
fica:
Como
é constante, podemos escrever:
Resposta
A solução da equação diferencial é
, onde
é uma constante.