Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
-2 yt^3 d t+1t^2 d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial -2 yt^3 , dt + 1t^2 , dy = 0 é exata e, se for, resolver ela. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como identificar se uma equação dada é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma M(t, y) , dt + N(t, y) , dy = 0 é exata se existir uma função F(t, y) tal que:
partial Fpartial t = M e partial Fpartial y = N
Para verificar se a equação dada é exata, a gente precisa checar se:
partial Mpartial y = partial Npartial t

Passo 3

Vamos identificar M e N na nossa equação:
M(t, y) = -2 yt^3 e N(t, y) = 1t^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando partial Mpartial y:
partial Mpartial y = partialpartial y ( -2 yt^3 ) = -2t^3
E agora calculamos partial Npartial t:
partial Npartial t = partialpartial t ( 1t^2 ) = -2t^3

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas derivadas que calculamos:
partial Mpartial y = -2t^3 e partial Npartial t = -2t^3
Como partial Mpartial y = partial Npartial t, isso significa que a equação diferencial é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, vamos encontrar a função F(t, y) tal que:
partial Fpartial t = M = -2 yt^3
Para encontrar F(t, y), vamos integrar M em relação a t:
F(t, y) = integral -2 yt^3 , dt

Passo 7

Fazendo a integração:
F(t, y) = -2 y integral 1t^3 , dt = -2 y ( -12 t^2 ) + g(y) = yt^2 + g(y)
Onde g(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 8

Agora, vamos usar a segunda condição partial Fpartial y = N = 1t^2. Calculamos:
partial Fpartial y = 1t^2 + g'(y) = 1t^2
Isso implica que g'(y) = 0, ou seja, g(y) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Passo 9

Então, a função F(t, y) fica:
F(t, y) = yt^2 + C
Como F(t, y) é constante, podemos escrever:
yt^2 = C

Resposta

A solução da equação diferencial é yt^2 = C, onde C é uma constante.

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