Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = 2 - x^4 + 2x^2 - y^2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e teste da segunda derivada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Isso nos ajuda a encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $.
Para $ f_x = 0 $:
Para $ f_y = 0 $:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Vamos agora classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos das segundas derivadas parciais:
O discriminante $ D $ é dado por:
Passo 5
Vamos calcular o discriminante $ D $ para cada ponto crítico.
- Para o ponto (0, 0):
Como $ D < 0 $, o ponto (0, 0) é um ponto de sela.
- Para o ponto (1, 0):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto (1, 0) é um máximo local.
- Para o ponto (-1, 0):
Assim como no ponto (1, 0), o ponto (-1, 0) também é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- Máximos locais: (1, 0) e (-1, 0)
- Ponto de sela: (0, 0)