Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=2-x^4+2 x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função $ f(x, y) = 2 - x^4 + 2x^2 - y^2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e teste da segunda derivada. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Isso nos ajuda a encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $.
Para $ f_x = 0 $:
fx = 0
Para $ f_y = 0 $:
fy = 0
Então, os pontos críticos são:
fx = 0

Passo 4

Vamos agora classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos das segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -12x^2 + 4
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2
fxy = fyx = 0
O discriminante $ D $ é dado por:
D

Passo 5

Vamos calcular o discriminante $ D $ para cada ponto crítico.
  1. Para o ponto (0, 0):
D
fxx(0,0) = -12(0)^2 + 4 = 4
Como $ D < 0 $, o ponto (0, 0) é um ponto de sela.
  1. Para o ponto (1, 0):
D = 4 cdot (-2) - 0 = -8
D < 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto (1, 0) é um máximo local.
  1. Para o ponto (-1, 0):
fxx(1,0) = -12(1)^2 + 4 = -8
D = (-8) cdot (-2) - 0 = 16
Assim como no ponto (1, 0), o ponto (-1, 0) também é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • Máximos locais: (1, 0) e (-1, 0)
  • Ponto de sela: (0, 0)

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