Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Região triangular integral duplaR x y d A, onde R é a região limitada pelas retas y=x, y=2 x e x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x,y,dA
onde R é o triângulo limitado pelas retas
y=x, y=2x, x+y=2
Vamos esboçar R, depois escrever a integral numa ordem (por exemplo dy,dx), em seguida inverter para dx,dy e finalmente calcular o valor numérico.

Passo 2

Esboçando as retas:
  • y=x e y=2x se cruzam em (0,0).
  • y=x com x+y=2 dão x+x=2Rightarrow(1,1).
  • y=2x com x+y=2 dão x+2x=2Rightarrow(tfrac23,tfrac43).
    Logo R é o triângulo de vértices (0,0), (1,1), (tfrac23,tfrac43).

Passo 3

Escolhendo ordem dy,dx, vemos que para
0<= x<=tfrac23
o lado superior de R é y=2x e o inferior y=x, enquanto para
tfrac23<= x<=1
o lado inferior continua y=x mas o superior passa a ser y=2-x (da reta x+y=2).
Assim a integral original fica
integralx=0^2/3!integraly=x^2x x,y,dy,dx ;+; integralx=2/3^1!integraly=x^2-x x,y,dy,dx

Passo 4

Agora invertemos para ordem dx,dy. O y varia do mínimo 0 até o máximo tfrac43. Para cada y temos duas faixas:
  • Se 0<= y<=1, os limites em x vêm de y=2xRightarrow x=tfrac y2 até y=xRightarrow x=y.
  • Se 1<= y<=tfrac43, o limite esquerdo é ainda x=tfrac y2 e o direito vem de x+y=2Rightarrow x=2-y.
    Logo a integral invertida é
integraly=0^1!integralx=y/2^y x,y,dx,dy ;+; integraly=1^4/3!integralx=y/2^,2-y x,y,dx,dy

Passo 5

Calculemos cada parte:
Parte 1
integraly=0^1!integralx=y/2^y x,y,dx,dy =integral0^1yl[tfracx^22r]x=y/2^x=ydy =integral0^1yl(tfracy^22-tfrac(y/2)^22r)dy =integral0^1tfrac3y^38,dy =[tfrac3y^432]0^1 =tfrac332
Parte 2
integraly=1^4/3!integralx=y/2^2-y x,y,dx,dy =integral1^4/3yl[tfracx^22r]y/2^2-ydy =integral1^4/3yl(tfrac(2-y)^22-tfrac(y/2)^22r)dy
Expanda e integre:
integral1^4/3l(2y-2y^2+tfrac38y^3r)dy =l[y^2-tfrac23y^3+tfrac332y^4r]1^4/3 = 4081-4196 = 1732592
Somando as duas partes:
332+1732592 =2432592+1732592 =4162592 =1381

Resposta

integral duplaRx,y,dA = 1381

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