Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Região triangular
, onde
é a região limitada pelas retas
.
Região triangular
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o triângulo limitado pelas retas
Vamos esboçar
, depois escrever a integral numa ordem (por exemplo
), em seguida inverter para
e finalmente calcular o valor numérico.
Passo 2
Esboçando as retas:
-
e se cruzam em . -
com dão . -
com dão .
Logoé o triângulo de vértices .
Passo 3
Escolhendo ordem
, vemos que para
o lado superior de
é
e o inferior
, enquanto para
o lado inferior continua
mas o superior passa a ser
(da reta
).
Assim a integral original fica
Assim a integral original fica
Passo 4
Agora invertemos para ordem
. O
varia do mínimo
até o máximo
. Para cada
temos duas faixas:
- Se
, os limites em vêm de até . - Se
, o limite esquerdo é ainda e o direito vem de .
Logo a integral invertida é
Passo 5
Calculemos cada parte:
Parte 1
Parte 2
Expanda e integre:
Somando as duas partes: