Nos exercícios 1-10, esboce a região de integração e cal:ule a integral.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, uma parte fundamental do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 3
Para integrar em relação a , podemos usar a integral de uma função exponencial. A integral de em relação a é , onde é uma constante.
No nosso caso, , então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de a na expressão encontrada:
Simplificando:
3 y^2 (e^y^3 - 1)
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 3 y^2 (e^y^3 - 1) , dy
Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
3 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy - 3 integral0^1 y^2 , dy
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral 3 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy . Para isso, usamos a substituição u = y^3 , então du = 3 y^2 dy . Isso simplifica a integral para:
integral e^u , du = e^u + C = e^y^3 + C
Aplicando os limites de 0 a 1 :
e^1^3 - e^0 = e - 1
Passo 7
Agora, resolvemos a segunda integral 3 integral0^1 y^2 , dy :