Nos exercícios 1-10, esboce a região de integração e cal:ule a integral.
integral0^1 integral0^y^2 3 y^3 e^x y d x d y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral0^1 integral0^y^2 3 y^3 e^x y , dx , dy. Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, uma parte fundamental do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis, primeiro em relação a x e depois em relação a y .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a x :
integral0^y^2 3 y^3 e^x y , dx
Aqui, tratamos y como uma constante porque estamos integrando em relação a x .

Passo 3

Para integrar 3 y^3 e^x y em relação a x , podemos usar a integral de uma função exponencial. A integral de e^k x em relação a x é 1k e^k x , onde k é uma constante.
No nosso caso, k = y , então:
integral 3 y^3 e^x y , dx = 3 y^3 cdot 1y e^x y + C = 3 y^2 e^x y + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a y^2 na expressão encontrada:
3 y^2 e^x y |0^y^2 = 3 y^2 e^y^2 cdot y - 3 y^2 e^0 = 3 y^2 e^y^3 - 3 y^2
Simplificando:
3 y^2 (e^y^3 - 1)

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 3 y^2 (e^y^3 - 1) , dy
Vamos dividir essa integral em duas partes para facilitar:
3 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy - 3 integral0^1 y^2 , dy

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral 3 integral0^1 y^2 e^y^3 , dy . Para isso, usamos a substituição u = y^3 , então du = 3 y^2 dy . Isso simplifica a integral para:
integral e^u , du = e^u + C = e^y^3 + C
Aplicando os limites de 0 a 1 :
e^1^3 - e^0 = e - 1

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda integral 3 integral0^1 y^2 , dy :
3 [ y^33 ]0^1 = 3 ( 13 - 0 ) = 1

Passo 8

Subtraímos os resultados das duas integrais:
(e - 1) - 1 = e - 2

Resposta

O valor da integral é e - 2 .

Exercícios relacionados