Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar o que aprendemos em cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável enquanto mantém a outra constante.
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os máximos, mínimos ou pontos de sela), a gente precisa igualar as derivadas parciais a zero e resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo
na equação
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (que é a matriz das segundas derivadas parciais):
Substituindo os valores:
Como
e
, isso significa que o ponto crítico
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
possui um máximo local no ponto
. Não há mínimos locais ou pontos de sela para essa função.