Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x y-2 x-2 y-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos máximos, mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = xy - 2x - 2y - x^2 - y^2 . Para isso, vamos usar o que aprendemos em cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável enquanto mantém a outra constante.
Vamos calcular:
partial fpartial x = y - 2 - 2x
partial fpartial y = x - 2 - 2y

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os máximos, mínimos ou pontos de sela), a gente precisa igualar as derivadas parciais a zero e resolver o sistema de equações:
y - 2 - 2x = 0 (1)
x - 2 - 2y = 0 (2)
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1):
y = 2x + 2
Substituindo na equação (2):
x - 2 - 2(2x + 2) = 0
x - 2 - 4x - 4 = 0
-3x - 6 = 0
-3x = 6 implies x = -2
Agora, substituindo x = -2 na equação y = 2x + 2 :
y = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2
Então, o ponto crítico é (-2, -2) .

Passo 4

Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2 fpartial x^2 = -2
partial^2 fpartial y^2 = -2
partial^2 fpartial x partial y = 1

Passo 5

Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana (que é a matriz das segundas derivadas parciais):
D = ( partial^2 fpartial x^2 ) ( partial^2 fpartial y^2 ) - ( partial^2 fpartial x partial y )^2
Substituindo os valores:
D = (-2)(-2) - (1)^2 = 4 - 1 = 3
Como D > 0 e partial^2 fpartial x^2 < 0 , isso significa que o ponto crítico (-2, -2) é um ponto de máximo local.

Resposta

A função f(x, y) = xy - 2x - 2y - x^2 - y^2 possui um máximo local no ponto (-2, -2) . Não há mínimos locais ou pontos de sela para essa função.

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