Se x0=-2 é um zero de: p(x)=x^3+5 x^2+k x-1, sendo k uma constante, então p(x) é divisível por
c) x^2+3 x-1.

Passo 1

O enunciado diz que
p(x)=x^3+5x^2+k,x-1
e que -2 é raiz de p. Queremos checar se, com isso, p(x) é divisível por
x^2+3x-1
Para isso vamos usar o Teorema do Resto (ou do Factor Theorem) e depois fazer a divisão de polinômios.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, se -2 é raiz então
p(-2)=0
Calculando:
p(-2)=(-2)^3+5(-2)^2+k(-2)-1=-8+20-2k-1=11-2k
Logo,
11-2k=0 Longrightarrow k=112

Passo 3

Agora p(x)=x^3+5x^2+112x-1 e sabemos que x+2 é fator. Vamos dividir esse polinômio por x+2 usando divisão sintética:
coeficientes: 1,;5,;112,;-1
raiz sintética: -2 1 to trazer downarrow
-2cdot1=-2 5+(-2)=3 to trazer downarrow
-2cdot3=-6
112+(-6)=-12 to trazer downarrow
-2cdot(-12)=1
-1+1=0
O resto é zero e o quociente é
x^2+3x-12

Passo 4

Comparando o quociente x^2+3x-tfrac12 com o polinômio proposto x^2+3x-1, vemos que eles são diferentes (o termo constante difere).
Portanto, embora x+2 divida p(x), o quociente não é x^2+3x-1. Logo p(x) não é divisível por x^2+3x-1.

Resposta

p(x) não é divisível por x^2+3x-1.

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