Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função $ f(x, y) = y \sqrt{x} - y^2 - 2x + 7y $. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre otimização de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar os pontos críticos e analisar a segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $:
A derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo $ f_x = 0 $:
Resolvendo $ f_y = 0 $:
Passo 4
Agora, substituímos a expressão de $ y $ da segunda equação na primeira equação para encontrar o valor de $ x $:
Passo 5
Com $ x = 1 $, encontramos $ y $ usando a equação $ y = 4\sqrt{x} $:
Então, o ponto crítico é $ (1, 4) $.
Passo 6
Para classificar o ponto crítico, usamos a segunda derivada e o discriminante.
Calculamos as segundas derivadas:
No ponto $ (1, 4) $:
Calculamos o discriminante $ D $:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto crítico $ (1, 4) $ é um ponto de máximo local.
Passo 7
Como não encontramos outros pontos críticos além de $ (1, 4) $, concluímos que a função possui apenas um ponto de máximo local nesse domínio. Não há mínimos locais nem pontos de sela.
Resposta
A função $ f(x, y) = y \sqrt{x} - y^2 - 2x + 7y $ possui um ponto de máximo local em $ (1, 4) $. Não há mínimos locais nem pontos de sela.