Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=y raizx-y^2-2 x+7 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função $ f(x, y) = y \sqrt{x} - y^2 - 2x + 7y $. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre otimização de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar os pontos críticos e analisar a segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $:
x
A derivada parcial em relação a $ y $:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo $ f_x = 0 $:
fx = 0
Resolvendo $ f_y = 0 $:
y2raizx - 2 = 0 implies y2raizx = 2 implies y = 4raizx

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de $ y $ da segunda equação na primeira equação para encontrar o valor de $ x $:
y

Passo 5

Com $ x = 1 $, encontramos $ y $ usando a equação $ y = 4\sqrt{x} $:
x = 1
Então, o ponto crítico é $ (1, 4) $.

Passo 6

Para classificar o ponto crítico, usamos a segunda derivada e o discriminante.
Calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -y4x^3/2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2
fxy = fyx = partial^2 fpartial x partial y = 12raizx
No ponto $ (1, 4) $:
(1, 4)
fxx = -44(1)^3/2 = -1
fyy = -2
Calculamos o discriminante $ D $:
fxy = 12(1) = 12
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto crítico $ (1, 4) $ é um ponto de máximo local.

Passo 7

Como não encontramos outros pontos críticos além de $ (1, 4) $, concluímos que a função possui apenas um ponto de máximo local nesse domínio. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

Resposta

A função $ f(x, y) = y \sqrt{x} - y^2 - 2x + 7y $ possui um ponto de máximo local em $ (1, 4) $. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

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