Encontre fx e fy como funções se f(x, y)=2 yy+cos x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede pra encontrar as derivadas parciais de f(x, y) = 2yy + cos x em relação a x e y . Aqui, estamos lidando com derivadas parciais, que é um conceito da matéria de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções que têm mais de uma variável, usando regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que chamaremos de fx . Para isso, tratamos y como uma constante porque estamos derivando em relação a x .
A função é f(x, y) = 2yy + cos x . Vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função uv , sua derivada é u'v - uv'v^2 .

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
  • u = 2y
  • v = y + cos x
  • Derivando u em relação a x : u' = 0 (já que y é constante)
  • Derivando v em relação a x : v' = -sin x
Agora, substituindo na fórmula:
fx = 0 cdot (y + cos x) - 2y cdot (-sin x)(y + cos x)^2 = 2y sin x(y + cos x)^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , que chamaremos de fy . Desta vez, tratamos x como uma constante.
A função continua sendo f(x, y) = 2yy + cos x . Vamos aplicar novamente a regra do quociente.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente para fy :
  • u = 2y
  • v = y + cos x
  • Derivando u em relação a y : u' = 2
  • Derivando v em relação a y : v' = 1
Substituindo na fórmula:
fy = 2 cdot (y + cos x) - 2y cdot 1(y + cos x)^2 = 2(y + cos x) - 2y(y + cos x)^2 = 2cos x(y + cos x)^2

Resposta

As derivadas parciais de f(x, y) = 2yy + cos x são:
fx = 2y sin x(y + cos x)^2
e
fy = 2cos x(y + cos x)^2

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