Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x y-x^2 y-x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função f(x, y) = xy - x^2y - xy^2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de f .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x :
fx = partial fpartial x = y - 2xy - y^2
E a derivada parcial em relação a y :
fy = partial fpartial y = x - x^2 - 2xy

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas são zero. Ou seja, resolvemos o sistema de equações:
y - 2xy - y^2 = 0 x - x^2 - 2xy = 0

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para y :
y - 2xy - y^2 = 0 y(1 - 2x - y) = 0
Então, temos duas possibilidades:
  1. y = 0
  2. 1 - 2x - y = 0
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1: y = 0
Substituindo y = 0 na segunda equação:
x - x^2 - 2x(0) = 0 x - x^2 = 0 x(1 - x) = 0
Então, x = 0 ou x = 1 .
Portanto, temos os pontos críticos (0, 0) e (1, 0) .

Passo 7

Caso 2: 1 - 2x - y = 0
Daqui, podemos expressar y em função de x :
y = 1 - 2x
Substituindo y = 1 - 2x na segunda derivada parcial:
x - x^2 - 2x(1 - 2x) = 0 x - x^2 - 2x + 4x^2 = 0 ( -x + 3x^2) = 0 x( -1 + 3x) = 0
Então, x = 0 ou x = 13 .
Para x = 0 :
y = 1 - 2(0) = 1 Rightarrow (0, 1)
Para x = 13 :
y = 1 - 2(13) = 1 - 23 = 13 Rightarrow (13, 13)

Passo 8

Então, os pontos críticos são:
  1. (0, 0)
  2. (1, 0)
  3. (0, 1)
  4. (13, 13)

Passo 9

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -2y
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -2x
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 1 - 2x - 2y
O determinante da matriz Hessiana D é dado por:
D = fxxfyy - (fxy)^2
Vamos calcular D para cada ponto crítico.

Passo 10

Ponto (0, 0) :
fxx = -2(0) = 0 fyy = -2(0) = 0 fxy = 1 - 2(0) - 2(0) = 1 D = (0)(0) - (1)^2 = -1
Como D < 0 , esse ponto é um ponto de sela.

Passo 11

Ponto (1, 0) :
fxx = -2(0) = 0 fyy = -2(1) = -2 fxy = 1 - 2(1) - 2(0) = -1 D = (0)(-2) - (-1)^2 = 0 - 1 = -1
Novamente, D < 0 , então é um ponto de sela.

Passo 12

Ponto (0, 1) :
fxx = -2(1) = -2 fyy = -2(0) = 0 fxy = 1 - 2(0) - 2(1) = -1 D = (-2)(0) - (-1)^2 = 0 - 1 = -1
Mais uma vez, D < 0 , então é um ponto de sela.

Passo 13

Ponto (13, 13) :
fxx = -2(13) = -23 fyy = -2(13) = -23 fxy = 1 - 2(13) - 2(13) = 1 - 23 - 23 = -13 D = (-23)(-23) - (-13)^2 = 49 - 19 = 39 = 13
Como D > 0 e fxx < 0 , esse ponto é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função f(x, y) = xy - x^2y - xy^2 são:
  • (0, 0) — ponto de sela
  • (1, 0) — ponto de sela
  • (0, 1) — ponto de sela
  • (13, 13) máximo local
Para visualizar melhor a função, seria legal plotar o gráfico em 3D usando um programa como o GeoGebra ou o MATLAB, ajustando o ponto de vista e o domínio para destacar esses pontos importantes.

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