Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas são zero. Ou seja, resolvemos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para
:
Então, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Passo 6
Caso 1:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
ou
.
Portanto, temos os pontos críticos
e
.
Passo 7
Caso 2:
Daqui, podemos expressar
em função de
:
Substituindo
na segunda derivada parcial:
Então,
ou
.
Para
:
Para
:
Passo 8
Então, os pontos críticos são:
Passo 9
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O determinante da matriz Hessiana
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Passo 10
Ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Passo 11
Ponto
:
Novamente,
, então é um ponto de sela.
Passo 12
Ponto
:
Mais uma vez,
, então é um ponto de sela.
Passo 13
Ponto
:
Como
e
, esse ponto é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
— ponto de sela -
— ponto de sela -
— ponto de sela -
— máximo local
Para visualizar melhor a função, seria legal plotar o gráfico em 3D usando um programa como o GeoGebra ou o MATLAB, ajustando o ponto de vista e o domínio para destacar esses pontos importantes.