Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^4-2 x^2+y^3-3 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função dada:
f(x, y) = x^4 - 2x^2 + y^3 - 3y
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e classificação de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas de f em relação a x e y, encontrar onde ambas são zero (pontos críticos) e então analisar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de f em relação a x e y.
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx = partial fpartial x = 4x^3 - 4x
E a derivada parcial de f em relação a y é:
fy = partial fpartial y = 3y^2 - 3

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos (x, y) onde ambas as derivadas são iguais a zero.
Primeiro, resolvemos fx = 0:
4x^3 - 4x = 0 4x(x^2 - 1) = 0 x = 0 ou x = pm 1
Em seguida, resolvemos fy = 0:
3y^2 - 3 = 0 y^2 = 1 y = pm 1

Passo 4

Combinando os valores de x e y, temos os seguintes pontos críticos:
  1. (0, 1)
  2. (0, -1)
  3. (1, 1)
  4. (1, -1)
  5. (-1, 1)
  6. (-1, -1)
Agora, vamos analisar cada um desses pontos para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 5

Para classificar os pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x^2 - 4 fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
O determinante da Hessiana é dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
Vamos calcular D para cada ponto crítico.

Passo 6

Vamos analisar cada ponto:
  1. Ponto (0, 1):
    • fxx = 12(0)^2 - 4 = -4
    • fyy = 6(1) = 6
    • D = (-4)(6) - 0 = -24
    • Como D < 0, é um ponto de sela.
  2. Ponto (0, -1):
    • fxx = 12(0)^2 - 4 = -4
    • fyy = 6(-1) = -6
    • D = (-4)(-6) - 0 = 24
    • Como D > 0 e fxx < 0, é um máximo local.
  3. Ponto (1, 1):
    • fxx = 12(1)^2 - 4 = 8
    • fyy = 6(1) = 6
    • D = (8)(6) - 0 = 48
    • Como D > 0 e fxx > 0, é um mínimo local.
  4. Ponto (1, -1):
    • fxx = 12(1)^2 - 4 = 8
    • fyy = 6(-1) = -6
    • D = (8)(-6) - 0 = -48
    • Como D < 0, é um ponto de sela.
  5. Ponto (-1, 1):
    • fxx = 12(-1)^2 - 4 = 8
    • fyy = 6(1) = 6
    • D = (8)(6) - 0 = 48
    • Como D > 0 e fxx > 0, é um mínimo local.
  6. Ponto (-1, -1):
    • fxx = 12(-1)^2 - 4 = 8
    • fyy = 6(-1) = -6
    • D = (8)(-6) - 0 = -48
    • Como D < 0, é um ponto de sela.

Resposta

Resumo dos pontos críticos da função f(x, y) = x^4 - 2x^2 + y^3 - 3y:
  • Máximos locais:
    • (0, -1)
  • Mínimos locais:
    • (1, 1)
    • (-1, 1)
  • Pontos de sela:
    • (0, 1)
    • (1, -1)
    • (-1, -1)

Exercícios relacionados