Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função dada:
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e classificação de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas de
em relação a
e
, encontrar onde ambas são zero (pontos críticos) e então analisar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos
onde ambas as derivadas são iguais a zero.
Primeiro, resolvemos
:
Em seguida, resolvemos
:
Passo 4
Combinando os valores de
e
, temos os seguintes pontos críticos:
Agora, vamos analisar cada um desses pontos para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 5
Para classificar os pontos críticos, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O determinante da Hessiana é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Passo 6
Vamos analisar cada ponto:
-
Ponto
: -
-
-
- Como
, é um ponto de sela.
-
-
Ponto
: -
-
-
- Como
e , é um máximo local.
-
-
Ponto
: -
-
-
- Como
e , é um mínimo local.
-
-
Ponto
: -
-
-
- Como
, é um ponto de sela.
-
-
Ponto
: -
-
-
- Como
e , é um mínimo local.
-
-
Ponto
: -
-
-
- Como
, é um ponto de sela.
-
Resposta
Resumo dos pontos críticos da função
:
-
Máximos locais:
-
-
Mínimos locais:
-
-
Pontos de sela:
-