Um tanque contém inicialmente 100 gal de salmoura com 20 libras de sal. No instante t=0, começa-se a jogar no tanque água pura à razão de 5 gal / min, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.

Passo 1

Então, a gente tem um tanque que inicialmente contém 100 galões de uma mistura salgada com 20 libras de sal. A partir do tempo t=0, vamos adicionar água pura no tanque à razão de 5 gal/min, enquanto a mistura sai do tanque na mesma taxa. Nosso objetivo é descobrir quanto sal vai ter no tanque em qualquer instante t.
Esse problema faz parte do estudo de misturas em cálculo diferencial. Vamos precisar entender como a quantidade de sal muda ao longo do tempo quando adicionamos e removemos líquidos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar: a quantidade de sal no tanque no tempo t, que vamos chamar de S(t). Inicialmente, S(0) = 20 libras.

Passo 3

A água que entra no tanque é pura, ou seja, ela não traz sal. Portanto, não há ganho de sal entrando no tanque.

Passo 4

Agora, vamos ver como o sal sai do tanque. A mistura que sai tem a mesma concentração que a mistura dentro do tanque. A concentração é dada por S(t)100 libras de sal por galão, já que o volume total do tanque é de 100 galões.

Passo 5

A taxa de saída de sal é então a concentração multiplicada pela taxa de saída de líquido:
Taxa de saída de sal = S(t)100 times 5 = S(t)20 , libras/min í

Passo 6

Como não há entrada de sal, a mudança na quantidade de sal no tanque é apenas devido à saída. Então, podemos escrever a equação diferencial:
dSdt = -S(t)20

Passo 7

Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis. Integrando ambos os lados, temos:
integral 1S(t) , dS = -integral 120 , dt
ln|S(t)| = -t20 + C

Passo 8

Resolvendo para S(t), obtemos:
S(t) = e^-t20 + C = Ce^-t20
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Usamos a condição inicial S(0) = 20 para encontrar C:
20 = Ce^0 Rightarrow C = 20

Passo 10

Então, a solução final para a quantidade de sal no tanque no tempo t é:
S(t) = 20 e^-t20 , libras

Resposta

A quantidade de sal no tanque no instante t é S(t) = 20, e^-t/20 libras.

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