Um tanque contém inicialmente 100 gal de salmoura com 20 libras de sal. No instante
, começa-se a jogar no tanque água pura à razão de
, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante
.
Passo 1
Então, a gente tem um tanque que inicialmente contém 100 galões de uma mistura salgada com 20 libras de sal. A partir do tempo
, vamos adicionar água pura no tanque à razão de
, enquanto a mistura sai do tanque na mesma taxa. Nosso objetivo é descobrir quanto sal vai ter no tanque em qualquer instante
.
Esse problema faz parte do estudo de misturas em cálculo diferencial. Vamos precisar entender como a quantidade de sal muda ao longo do tempo quando adicionamos e removemos líquidos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos encontrar: a quantidade de sal no tanque no tempo
, que vamos chamar de
. Inicialmente,
libras.
Passo 3
A água que entra no tanque é pura, ou seja, ela não traz sal. Portanto, não há ganho de sal entrando no tanque.
Passo 4
Agora, vamos ver como o sal sai do tanque. A mistura que sai tem a mesma concentração que a mistura dentro do tanque. A concentração é dada por
libras de sal por galão, já que o volume total do tanque é de 100 galões.
Passo 5
A taxa de saída de sal é então a concentração multiplicada pela taxa de saída de líquido:
Passo 6
Como não há entrada de sal, a mudança na quantidade de sal no tanque é apenas devido à saída. Então, podemos escrever a equação diferencial:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis. Integrando ambos os lados, temos:
Passo 8
Resolvendo para
, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 10
Então, a solução final para a quantidade de sal no tanque no tempo
é:
Resposta
A quantidade de sal no tanque no instante
é
libras.