Identificar as bolas abertas com as seguintes propriedades:
Dado um ponto (x, y, z) na bola, a distância de (x, y, z) à origem é menor que a distância de (x, y, z) a (1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para caracterizar todos os discos abertos B(c,r)subsetR^3 tais que, para todo ponto (x,y,z)in B(c,r),
llVert(x,y,z)rrVert<llVert(x,y,z)-(1,1,1)rrVert
Aqui usamos a norma euclidiana em R^3 e propriedades básicas de bolas abertas.

Passo 2

Escrevemos a condição equivalendo distâncias ao quadrado:
lVert xrVert^2<lVert x-(1,1,1)rVert^2 Long<=ftrightarrow xcdot x < (x-(1,1,1))cdot(x-(1,1,1))
Expandindo o lado direito:
xcdot x < xcdot x -2,xcdot(1,1,1) + lVert(1,1,1)rVert^2 Long<=ftrightarrow 2,xcdot(1,1,1) < lVert(1,1,1)rVert^2
Como lVert(1,1,1)rVert^2=3, obtemos a meia-espaço aberto
H = ,xinR^3 : x1+x2+x3 < tfrac32

Passo 3

Para que uma bola aberta B(c,r) esteja inteiramente em H, é necessário e suficiente que
supxin B(c,r)(x1+x2+x3)<tfrac32
Mas sobre B(c,r) a soma das coordenadas atinge no máximo
c1+c2+c3 ;+; r,llVert(1,1,1)rrVert ;=; (c1+c2+c3)+rraiz3
Logo a condição é
c1+c2+c3 + rraiz3 < tfrac32

Passo 4

Em particular, se quisermos bolas centradas na origem c=(0,0,0), a condição vira
0 + rraiz3 < tfrac32 Long<=ftrightarrow r < tfrac32raiz3 = raiz32

Resposta

As bolas abertas B(c,r) que satisfazem
lVert xrVert<lVert x-(1,1,1)rVert forall xin B(c,r)
são exatamente aquelas cujos centro c=(c1,c2,c3) e raio r>0 obedecem
c1+c2+c3 + rraiz3 < tfrac32
Em particular, as bolas centradas na origem são
Bl(0,;rr), 0<r<raiz32

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