Identificar as bolas abertas com as seguintes propriedades:
Dado um ponto
na bola, a distância de
à origem é menor que a distância de
a
Dado um ponto
Passo 1
O enunciado pede para caracterizar todos os discos abertos
tais que, para todo ponto
,
Aqui usamos a norma euclidiana em
R^3 e propriedades básicas de bolas abertas.
Passo 2
Escrevemos a condição equivalendo distâncias ao quadrado:
Expandindo o lado direito:
Como
lVert(1,1,1)rVert^2=3 , obtemos a meia-espaço aberto
Passo 3
Para que uma bola aberta
B(c,r) esteja inteiramente em
H , é necessário e suficiente que
Mas sobre
B(c,r) a soma das coordenadas atinge no máximo
Logo a condição é
Passo 4
Em particular, se quisermos bolas centradas na origem
c=(0,0,0) , a condição vira
Resposta
As bolas abertas
B(c,r) que satisfazem
são exatamente aquelas cujos centro
c=(c1,c2,c3) e raio
r>0 obedecem
Em particular, as bolas centradas na origem são