Identificar as bolas abertas com as seguintes propriedades:
Centrada em (0,2,-1) e raio 1

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos a bola aberta em R^3 de centro em (0,2,-1) e raio 1. Aqui o conteúdo é métrica euclidiana em R^3 e vamos usar a definição de bola aberta: conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor que o raio.

Passo 2

Na métrica euclidiana em R^3, a distância entre um ponto genérico (x,y,z) e o centro (0,2,-1) é
dl((x,y,z),(0,2,-1)r) = raiz(x-0)^2 + l(y-2r)^2 + l(z+1r)^2,

Passo 3

Pela definição de bola aberta de raio 1, temos
Bl((0,2,-1),1r) = l(x,y,z)inR^3 mid dl((x,y,z),(0,2,-1)r)<1r,

Passo 4

Substituindo a expressão da distância, a condição d<1 fica
raizx^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 < 1
Retirando a raiz, obtemos a forma mais usual da bola:
x^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 < 1

Resposta

Bl((0,2,-1),1r) = l(x,y,z)inR^3 mid x^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 < 1 r

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