a) Se a série sumn=1^+infty bn é absolutamente convergente, então a série sumn=1^+infty an também é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado afirma que, sempre que a série
sumn=1^inftybn
é absolutamente convergente, então a série
sumn=1^inftyan
também o é. O conteúdo envolvido é convergência absoluta de séries e, mais especificamente, o teste de comparação entre termos.

Passo 2

Para usar um teste de comparação e concluir que sum an converge absolutamente a partir de sum bn, precisaríamos de alguma desigualdade do tipo
lvert anrvert <= C,bn(ou similar)
para todo n. Como o enunciado não estabelece nenhuma relação entre an e bn, não há base lógica para garantir a convergência de sum an.

Passo 3

Contraexemplo concreto: defina
bn = 12^n e an = 1n
Então
sumn=1^inftybn =sumn=1^infty12^n
é absolutamente convergente (série geométrica de razão 1/2), mas
sumn=1^inftyan =sumn=1^infty1n
é a série harmônica, que diverge (logo não converge absolutamente).

Passo 4

Como encontramos um caso em que sum bn converge absolutamente enquanto sum an não converge absolutamente, a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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