Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais e pontos de sela da função
, usando derivadas parciais e o critério do gradiente, e em seguida, se possível, esboçar o gráfico 3D para visualizar a superfície.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Para isso usamos:
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Agora buscamos pontos críticos, ou seja, soluções de
Passo 6
Passo 7
Como
para todo
, a equação
implica
, ou seja
. Já
implica
, ou seja
. Não existe
que satisfaça simultaneamente
e
.
Passo 8
Logo, não há ponto em que ambas as derivadas parciais sejam nulas. Portanto, não existem pontos críticos no domínio
de
.
Passo 9
Como não há pontos críticos, concluímos que não há máximos locais, nem mínimos locais, nem pontos de sela.
Passo 10
Para visualizar a superfície, você pode usar, por exemplo, Python/Matplotlib ou MATLAB. Um esboço razoável é considerar
Passo 11
Passo 12
e em Python algo como:
Passo 13
fig=plt.figure()
Passo 14
ax=fig.add_subplot(111,projection=‘3d’)
Passo 15
X,Y=\np.meshgrid(np.linspace(-2,2,100),np.linspace(-\np.pi,\np.pi,100))
Passo 16
Z=np.exp(X)*np.cos(Y)
Passo 17
ax.plot_surface(X,Y,Z,cmap=‘viridis’)
Passo 18
ax.view_init(elev=30,azim=45)
Passo 19
plt.show()
Resposta
Não há máximos locais, nem mínimos locais, nem pontos de sela, pois o gradiente nunca se anula.