Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=e^x cos y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais e pontos de sela da função f(x,y)=e^xcos y, usando derivadas parciais e o critério do gradiente, e em seguida, se possível, esboçar o gráfico 3D para visualizar a superfície.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Para isso usamos:

Passo 3

fx=partialpartial xl(e^xcos yr)=e^xcos y,

Passo 4

fy=partialpartial yl(e^xcos yr)=-e^xsin y

Passo 5

Agora buscamos pontos críticos, ou seja, soluções de

Passo 6

fx=0e fy=0

Passo 7

Como e^x>0 para todo x, a equação fx=0 implica cos y=0, ou seja y=tfracpi2+kpi. Já fy=0 implica sin y=0, ou seja y=kpi. Não existe y que satisfaça simultaneamente cos y=0 e sin y=0.

Passo 8

Logo, não há ponto em que ambas as derivadas parciais sejam nulas. Portanto, não existem pontos críticos no domínio R^2 de f(x,y).

Passo 9

Como não há pontos críticos, concluímos que não há máximos locais, nem mínimos locais, nem pontos de sela.

Passo 10

Para visualizar a superfície, você pode usar, por exemplo, Python/Matplotlib ou MATLAB. Um esboço razoável é considerar

Passo 11

xin[-2,2], yin[-pi,pi], z=e^xcos y,

Passo 12

e em Python algo como:

Passo 13

fig=plt.figure()

Passo 14

ax=fig.add_subplot(111,projection=‘3d’)

Passo 15

X,Y=\np.meshgrid(np.linspace(-2,2,100),np.linspace(-\np.pi,\np.pi,100))

Passo 16

Z=np.exp(X)*np.cos(Y)

Passo 17

ax.plot_surface(X,Y,Z,cmap=‘viridis’)

Passo 18

ax.view_init(elev=30,azim=45)

Passo 19

plt.show()

Resposta

Não há máximos locais, nem mínimos locais, nem pontos de sela, pois o gradiente nunca se anula.

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