Encontre a área da região delimitada pelos gráficos de f(x)=x^3-10 x e g(x)=6 x. Snt.

Passo 1

O enunciado pede a área da região entre as curvas f(x)=x^3-10x e g(x)=6x. O conteúdo aqui é “área entre duas curvas” e vamos precisar de integração definida para l|f(x)-g(x)r| nos intervalos onde uma curva fica acima da outra.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção resolvemos
f(x)=g(x)
x^3-10x=6x
x^3-16x=0
x(x^2-16)=0
Logo, as abscissas de interseção são x=-4, x=0 e x=4.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima em cada subintervalo:
  • Em -4<x<0, teste x=-2: f(-2)=(-2)^3-10(-2)=12 e g(-2)=-12, então f(x)>g(x).
  • Em 0<x<4, teste x=2: f(2)=8-20=-12 e g(2)=12, então g(x)>f(x).

Passo 4

A área é
integral-4^0l(f(x)-g(x)r),dx ;+;integral0^4l(g(x)-f(x)r),dx
Como f(x)-g(x)=x^3-16x, o primeiro integral é de x^3-16x e o segundo é de -(x^3-16x)=16x-x^3.

Passo 5

Calculemos cada um:
integral(x^3-16x),dx =x^4/4-8x^2,
integral-4^0(x^3-16x),dx =l[x^4/4-8x^2r]-4^0 =0-(-64)=64
integral(16x-x^3),dx =8x^2-x^4/4,
integral0^4(16x-x^3),dx =l[8x^2-x^4/4r]0^4 =(128-64)-0=64

Passo 6

Somando as duas áreas obtém-se
64+64=128

Resposta

A área da região é 128.

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