Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x y+1x+1y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x,y+1x+1y,
com xneq0 e yneq0, e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar os candidatos a extremos e a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = y - 1x^2, partial fpartial y = x - 1y^2

Passo 3

Para pontos críticos, igualamos as parciais a zero:
y - 1x^2 = 0, x - 1y^2 = 0
Da primeira vem y = x^-2. Substituindo na segunda:
x = l(x^-2r)^-2 = x^4 Longrightarrow x^4 - x = 0 Longrightarrow x(x^3-1)=0
Como xneq0, concluímos x^3=1 e, no domínio real, x=1. Logo y=1^-2=1. Há portanto um único ponto crítico: (1,1).

Passo 4

A matriz Hessiana de f é
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y[6pt] partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 = 2x^3 & 1[4pt] 1 & 2y^3
Em (1,1) isso vale
H(1,1) = 2 & 1[4pt]1 & 2
Os autovalores são lambda1=3 e lambda2=1, ambos positivos, o que indica que f tem um mínimo local em (1,1).]

Passo 5

Não surgem outras soluções internas e, portanto, não existem máximos locais nem pontos de sela no domínio de f. Graficamente, o relevo em torno de (1,1) é de “vale” e para xto0 ou yto0 a função tende a pminfty.

Resposta

Local mínimo: (1,1) com valor f(1,1)=3.
Não há máximos locais nem pontos de sela.

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