Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
com e , e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais para achar os candidatos a extremos e a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Passo 3
Para pontos críticos, igualamos as parciais a zero:
Da primeira vem . Substituindo na segunda:
Como , concluímos e, no domínio real, . Logo . Há portanto um único ponto crítico: .
Passo 4
A matriz Hessiana de é
Em (1,1) isso vale
H(1,1) = 2 & 1[4pt]1 & 2
Os autovalores são lambda1=3 e lambda2=1, ambos positivos, o que indica que f tem um mínimo local em (1,1).]
Passo 5
Não surgem outras soluções internas e, portanto, não existem máximos locais nem pontos de sela no domínio de f. Graficamente, o relevo em torno de (1,1) é de “vale” e para xto0 ou yto0 a função tende a pminfty.
Resposta
Local mínimo: (1,1) com valor f(1,1)=3.
Não há máximos locais nem pontos de sela.