Exercício 1: Calcule.
\iint_{S} F . d S, onde F(x, y, z)=-x z \vec{\imath}-y z \vec{\jmath}+\left(6 z+z^{2}\right) \vec{k} e S é a superfície de equação x^{2}+\frac{(y-1)^{2}}{4}+\frac{(z-2)^{2}}{9}=1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot dS
onde
F(x,y,z) = -xz\,\vec\imath \;-\;yz\,\vec\jmath \;+\;\bigl(6z+z^2\bigr)\,\vec k
e S é a superfície fechada do elipsoide
x^{2} + \frac{(y-1)^{2}}{4} + \frac{(z-2)^{2}}{9} = 1.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que nos permite trocar a integral de fluxo por uma integral de volume da divergência de F.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência, se V é a região interna ao elipsoide S com orientação exterior, então
\iint_{S}F\cdot dS = \iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot F\bigr)\,dV.
Nosso objetivo agora é calcular \nabla\cdot F e o volume de V.

Passo 3

Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(-xz) + \frac{\partial}{\partial y}(-yz) + \frac{\partial}{\partial z}(6z+z^2).
Cada derivada é
\frac{\partial}{\partial x}(-xz) = -z, \quad \frac{\partial}{\partial y}(-yz) = -z, \quad \frac{\partial}{\partial z}(6z+z^2) = 6 + 2z.
Somando, temos
\nabla\cdot F = -z - z + 6 + 2z = 6.

Passo 4

O volume de um elipsoide de semi-eixos a, b, c é
\frac{4}{3}\pi\,a b c.
Na nossa superfície, os semi-eixos são a=1, b=2, c=3, logo
\mathrm{Vol}(V) = \frac{4}{3}\pi \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 8\pi.

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência:
\iint_{S}F\cdot dS = \iiint_{V}6\,dV = 6 \cdot \mathrm{Vol}(V) = 6 \times 8\pi = 48\pi.

Resposta

48\pi

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