Exercício 1: Calcule.
, onde
e S é a superfície de equação
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a superfície fechada do elipsoide
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que nos permite trocar a integral de fluxo por uma integral de volume da divergência de
.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência, se
é a região interna ao elipsoide
com orientação exterior, então
Nosso objetivo agora é calcular
e o volume de
.
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Cada derivada é
Somando, temos
Passo 4
O volume de um elipsoide de semi-eixos
,
,
é
Na nossa superfície, os semi-eixos são
,
,
, logo
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência: