Exercício 1: Calcule.
\int_{C} F . d r, onde F(x, y, z)=\left(2 x z+\operatorname{sen} y, x \cos y, x^{2}\right) e C é a curva cuja parame trização é r(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}F\cdot d r
onde
F(x,y,z)=\bigl(2xz+\sin y,\;x\cos y,\;x^2\bigr)
e C tem parametrização
r(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t),\quad 0\le t\le2\pi.
O conteúdo principal é integral de linha em campos vetoriais e reconhecimento de campo conservativo.

Passo 2

Em vez de calcular diretamente
\int_{0}^{2\pi}F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt,
vamos verificar se F é conservativo, pois aí basta achar um potencial \varphi e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 3

Calculamos o rotacional \nabla\times F:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} =0-0=0,
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} =2x-2x=0,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\cos y-\cos y=0.
Como \nabla\times F=0 em \mathbb{R}^3, F é conservativo e existe \varphi tal que \nabla\varphi=F.

Passo 4

Procuramos \varphi(x,y,z) satisfazendo
\partial\varphi/\partial x=2xz+\sin y. Integramos em x:
\varphi(x,y,z)=\int(2xz+\sin y)\,dx =x^2z + x\sin y + g(y,z).
Em seguida exigimos \partial\varphi/\partial y=x\cos y + \partial g/\partial y =F_{2}=x\cos y, logo \partial g/\partial y=0 e g=g(z). Finalmente \partial\varphi/\partial z =x^2 + g'(z)=F_{3}=x^2 implica g'(z)=0. Assim, até constante,
\varphi(x,y,z)=x^2z + x\sin y.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental,
\int_{C}F\cdot d r =\varphi\bigl(r(2\pi)\bigr)-\varphi\bigl(r(0)\bigr).
Temos
r(0)=(1,0,0),\qquad r(2\pi)=(1,0,2\pi).
Logo
\varphi(1,0,2\pi)=1^2\cdot2\pi +1\cdot\sin0=2\pi,
\varphi(1,0,0)=1^2\cdot0 +1\cdot\sin0=0.
Portanto
\int_{C}F\cdot d r =2\pi -0 =2\pi.

Resposta

2\pi

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