Exercício 1: Calcule.
, onde
e C é a curva cuja parame trização é
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
tem parametrização
O conteúdo principal é integral de linha em campos vetoriais e reconhecimento de campo conservativo.
Passo 2
Em vez de calcular diretamente
vamos verificar se
é conservativo, pois aí basta achar um potencial
e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 3
Calculamos o rotacional
:
Como
em
,
é conservativo e existe
tal que
.
Passo 4
Procuramos
satisfazendo
. Integramos em
:
Em seguida exigimos
, logo
e
. Finalmente
implica
. Assim, até constante,
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental,
Temos
Logo
Portanto