Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos locais e pontos de sela da função
O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos e uso do Hessiano (matriz de segundas derivadas) para classificar cada ponto.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais. Seja
.
Passo 3
Igualamos o gradiente a zero:
Como em
temos
, a segunda condição força
.
Logo, os pontos críticos são
Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Agora as segundas derivadas; ainda com
:
Em
temos
e
Em
obtemos
Passo 5
O discriminante do Hessiano é
Em
:
Em
:
Não há outros pontos críticos, logo não existem pontos de sela.
Resposta
Máximo local em
com valor
mínimo local em
com valor
e nenhum ponto de sela.