Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
f(x, y)=x cdot e^-2 x^2-2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos locais e pontos de sela da função
f(x,y)=x,e^-2x^2-2y^2
O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos e uso do Hessiano (matriz de segundas derivadas) para classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Seja r^2=x^2+y^2.
partial fpartial x =partialpartial xl(x,e^-2r^2r) =e^-2r^2+xl(-4x,e^-2r^2r) =e^-2r^2l(1-4x^2r),
partial fpartial y =partialpartial yl(x,e^-2r^2r) =xl(-4y,e^-2r^2r) =-4xy,e^-2r^2

Passo 3

Igualamos o gradiente a zero:
e^-2r^2(1-4x^2)=0Longrightarrow x=pm12,
-4xy,e^-2r^2=0Longrightarrow x,y=0
Como em x=pm12 temos xneq0, a segunda condição força y=0.
Logo, os pontos críticos são
l(tfrac12,0r) e l(-tfrac12,0r)

Passo 4

Agora as segundas derivadas; ainda com r^2=x^2+y^2:
fxx =4x,e^-2r^2l(4x^2-3r), fxy =-4yl(1-4x^2r)e^-2r^2, fyy =-4x,e^-2r^2+16x y^2,e^-2r^2
Em l(tfrac12,0r) temos e^-2r^2=e^-1/2 e
fxx=-4e^-1/2, fxy=0, fyy=-2e^-1/2
Em l(-tfrac12,0r) obtemos
fxx=4e^-1/2, fxy=0, fyy=2e^-1/2

Passo 5

O discriminante do Hessiano é
D = fxx,fyy - (fxy)^2
Em l(tfrac12,0r):
D = (-4e^-1/2)(-2e^-1/2) = 8e^-1>0, fxx<0 ;Longrightarrow; máximo local á
Em l(-tfrac12,0r):
D = (4e^-1/2)(2e^-1/2) = 8e^-1>0, fxx>0 ;Longrightarrow; mínimo local í
Não há outros pontos críticos, logo não existem pontos de sela.

Resposta

Máximo local em l(tfrac12,0r) com valor
fl(tfrac12,0r)=tfrac12,e^-1/2,
mínimo local em l(-tfrac12,0r) com valor
fl(-tfrac12,0r)=-tfrac12,e^-1/2,
e nenhum ponto de sela.

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