Use o mûˋtodo de substituiûÏûÈo para determinar as seguintes integrais
integral raizln (x)x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raizln(x)x,dx
usando o método de substituição. Aqui a ideia é reconhecer que dentro da raiz está ln(x) e que sua derivada aparece como 1/x, tornando a substituição natural.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = ln(x)
Como ddx[ln(x)] = 1x, temos
du = 1x,dx Longrightarrow dx = x,du,
mas em 1x,dx basta usar du=1x,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, note que raizln(x)=raizu e 1x,dx=du. Assim
integral raizln(x)x,dx = integral raizu,du = integral u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos u^1/2:
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 + C = 23,u^tfrac32 + C

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que u=ln(x). Logo a primitiva é
23l(ln(x)r)^tfrac32 + C

Resposta

23l(ln(x)r)^tfrac32 + C

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