Use o mûˋtodo de substituiûÏûÈo para determinar as seguintes integrais
integral(v+3) cos (v^2+6 v) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral (v+3)cosl(v^2+6vr),dv
usando o método de substituição. O conteúdo aqui é reconhecer a derivada da parte interna do cosseno e fazer a troca de variável.

Passo 2

Observamos que a função dentro do cosseno é v^2+6v. Definimos
u = v^2+6v
Derivando em relação a v,
du = (2v+6),dv = 2(v+3),dv,
logo podemos isolar
(v+3),dv = 12,du

Passo 3

Substituindo na integral, trocamos v^2+6v por u e (v+3),dv por tfrac12,du:
integral (v+3)cosl(v^2+6vr),dv = integral cos(u),12,du = 12integral cos(u),du

Passo 4

Sabemos que
integral cos(u),du = sin(u) + C
Portanto
12integral cos(u),du = 12sin(u) + C
Voltando para a variável original v, onde u=v^2+6v, obtemos
12sinl(v^2+6vr) + C

Resposta

12sinl(v^2+6vr) + C

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