Resolva a equação d yd x=x+3 yy+3 x, fazendo a mudança de variável v=yx.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = x + 3yy + 3x
usando a substituição v = yx. Isso caracteriza uma equação homogênea de primeira ordem. Vamos escrever y = vx e transformar a equação em variáveis separáveis em v e x.

Passo 2

Substituindo y = vx obtemos
dydx = v + xdvdx
No lado direito, como y = vx, temos
x + 3yy + 3x = x + 3(vx)vx + 3x = 1 + 3vv + 3
Logo a equação vira
v + xdvdx = 1 + 3vv + 3

Passo 3

Isolando dvdx:
xdvdx = 1 + 3vv + 3 - v = 1 + 3v - v(v + 3)v + 3 = 1 - v^2v + 3 = (1 - v)(1 + v)v + 3
Portanto
dvdx = (1 - v)(1 + v)x,(v + 3)

Passo 4

Separamos e integramos:
integral v + 3(1 - v)(1 + v),dv = integral dxx
Fazendo frações parciais no lado esquerdo,
v + 3(1 - v)(1 + v) = 21 - v + 11 + v
Então
integral!l(21 - v + 11 + vr)dv = integral dxx

Passo 5

Calculando as integrais:
integral 21 - v,dv = -2lnlvert 1 - vrvert, integral 11 + v,dv = lnlvert 1 + vrvert,
e
integral dxx = lnlvert xrvert + C
Logo
lnlvert 1 + vrvert - 2lnlvert 1 - vrvert = lnlvert xrvert + C
Exponenciando,
1 + v(1 - v)^2 = K,x,
onde K = e^C.

Passo 6

Voltando à variável y, com v = yx:
1 + yxl(1 - yxr)^2 = K,x
Simplificando o lado esquerdo:
x + yx(x - y)^2x^2 = (x + y)x(x - y)^2 = K,x
Cancelando xneq0, obtém-se a solução implícita
x + y(x - y)^2 = C

Resposta

x + y(x - y)^2 = C,
onde C é constante de integração.

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