Resolva a equação
, fazendo a mudança de variável
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando a substituição
. Isso caracteriza uma equação homogênea de primeira ordem. Vamos escrever
e transformar a equação em variáveis separáveis em
e
.
Passo 2
Substituindo
obtemos
No lado direito, como
, temos
Logo a equação vira
Passo 3
Isolando
:
Portanto
Passo 4
Separamos e integramos:
Fazendo frações parciais no lado esquerdo,
Então
Passo 5
Calculando as integrais:
e
Logo
Exponenciando,
onde
.
Passo 6
Voltando à variável
, com
:
Simplificando o lado esquerdo:
Cancelando
, obtém-se a solução implícita
Resposta
onde
é constante de integração.