Determine os valores máximos e mínimos de
, sujeito a restrição
por Lagrange
Passo 1
Este exercício pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
sob a restrição de que
. O conteúdo principal aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, em que usamos gradientes para impor a restrição.
Passo 2
Definimos a função de restrição
. Pelo método de Lagrange, precisamos resolver as equações
Passo 3
Calculamos os gradientes:
Passo 4
O sistema de equações de Lagrange fica então:
Da primeira equação tiramos
(assumindo
) e, usando na segunda, obtemos:
Passo 5
Substituindo cada caso na restrição:
Para :
Para
logo
.
Para :
Para
logo
.
Passo 6
Concluímos assim que o valor máximo de
na elipse é alcançado em
ou
com
, e o valor mínimo ocorre em
ou
com
.
Resposta
O valor máximo de
é 2 e o valor mínimo é -2.