Determine os valores máximos e mínimos de f(x, y)=x y, sujeito a restrição x^2 / 8+y^2 / 2=1 por Lagrange

Passo 1

Este exercício pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y)=xy sob a restrição de que x^2/8 + y^2/2 = 1. O conteúdo principal aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange, em que usamos gradientes para impor a restrição.

Passo 2

Definimos a função de restrição g(x,y) = x^28 + y^22 - 1 = 0. Pelo método de Lagrange, precisamos resolver as equações
nabla f(x,y) = lambda,nabla g(x,y) e g(x,y)=0

Passo 3

Calculamos os gradientes:
nabla f(x,y) = l(y,,xr), nabla g(x,y) = l(x4,,yr)

Passo 4

O sistema de equações de Lagrange fica então:
y = lambdax4, x = lambda y, x^28 + y^22 = 1
Da primeira equação tiramos lambda = 4y/x (assumindo xneq0) e, usando na segunda, obtemos:
x = 4yx,y implies x^2 = 4y^2 implies x = pm 2y

Passo 5

Substituindo cada caso na restrição:
Para x=2y:
(2y)^28 + y^22 = y^2 = 1 implies y=pm1,;x=pm2,
logo f=xy=2.
Para x=-2y:
(-2y)^28 + y^22 = y^2 = 1 implies y=pm1,;x=mp2,
logo f=xy=-2.

Passo 6

Concluímos assim que o valor máximo de f na elipse é alcançado em (2,1) ou (-2,-1) com fmax=2, e o valor mínimo ocorre em (2,-1) ou (-2,1) com fmin=-2.

Resposta

O valor máximo de f é 2 e o valor mínimo é -2.

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