Determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado e informe onde ela os assume.
g(x)=x^2 / 3(x-2)^2 , [-1,3]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função
g(x)=x^2/3(x-2)^2
no intervalo [-1,3]. Para resolver isso, vamos calcular a derivada, encontrar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e avaliar g nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Usamos a regra do produto. Seja
u(x)=x^2/3, v(x)=(x-2)^2
Temos
u'(x)=tfrac23x^-1/3, v'(x)=2(x-2)
Logo,
g'(x)=u'v+uv' =23x^-1/3(x-2)^2 + x^2/3cdot 2(x-2)
Fatorando (x-2),
g'(x)=(x-2)l(tfrac23x^-1/3(x-2)+2x^2/3r)
Observamos também que g'(x) não existe em x=0.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo g'(x)=0 e considerando x=0:
1. x-2=0 Rightarrow x=2.
2.
tfrac23x^-1/3(x-2)+2x^2/3=0 ;;Longrightarrow;; (x-2)+3x=0 ;;Longrightarrow;; 4x-2=0 ;;Longrightarrow;; x=tfrac12
3. Derivada indefinida em x=0.
Portanto, os candidatos são
x=-1,;0,;tfrac12,;2,;3

Passo 4

Calculamos g nesses pontos:
g(-1)=(-1)^2/3(-3)^2=1cdot9=9,
g(0)=0^2/3(-2)^2=0,
gl(tfrac12r) =l(tfrac12r)^2/3l(-tfrac32r)^2 =94,2^-2/3,
g(2)=2^2/3cdot0^2=0,
g(3)=3^2/3cdot1^2=3^2/3
Numericamente, 9>3^2/3approx2,08>tfrac942^-2/3approx1,42>0.

Passo 5

Comparando os valores, o mínimo absoluto é 0 e o máximo absoluto é 9.

Resposta

Mínimo absoluto: gmin=0 em x=0 e x=2.
Máximo absoluto: gmax=9 em x=-1.

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