Determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado e informe onde ela os assume.
f(x)=x^3-6 x^2+9 x+2,[-1,4]

Passo 1

O enunciado pede os valores mínimo e máximo absolutos da função
f(x)=x^3-6x^2+9x+2
no intervalo [-1,4]. Vamos usar o teste da derivada para encontrar pontos críticos e depois avaliar f nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(x^3-6x^2+9x+2r) =3x^2-12x+9

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3x^2-12x+9=0 Longrightarrow x^2-4x+3=0 Longrightarrow (x-1)(x-3)=0
Logo, os pontos críticos são x=1 e x=3, ambos dentro de [-1,4].

Passo 4

Avaliamo-s f nos pontos críticos e nas extremidades x=-1 e x=4:
f(-1)=(-1)^3-6(-1)^2+9(-1)+2=-1-6-9+2=-14,
f(1)=1^3-6cdot1^2+9cdot1+2=1-6+9+2=6,
f(3)=3^3-6cdot3^2+9cdot3+2=27-54+27+2=2,
f(4)=4^3-6cdot4^2+9cdot4+2=64-96+36+2=6

Passo 5

Comparando os valores:
f(-1)=-14, f(1)=6, f(3)=2, f(4)=6
O menor valor é -14 e o maior é 6.

Resposta

O valor mínimo absoluto é -14, que ocorre em x=-1.
O valor máximo absoluto é 6, que ocorre em x=1 e em x=4.

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