Encontre cada ponto crítico e determine os extremos locais
f(x)=x^3+x^2-8 x+5

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de f(x)=x^3+x^2-8x+5 e a classificação em extremos locais. Para isso vamos usar derivada primeira para achar os pontos críticos e derivada segunda para aplicar o teste de concavidade.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(x^3+x^2-8x+5r)=3x^2+2x-8
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
3x^2+2x-8=0
O discriminante é De<a=2^2-4cdot3cdot(-8)=4+96=100, logo as raízes são
x=-2pm106;Longrightarrow;x=-2, x=43

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda:
f''(x)=ddx(3x^2+2x-8)=6x+2
Avaliamos em cada ponto crítico:
f''(-2)=6cdot(-2)+2=-10<0Rightarrowmáximo local, á
f''l(tfrac43r)=6cdottfrac43+2=10>0Rightarrowmínimo local í

Passo 4

Para obter os valores de f nesses pontos, calculamos:
f(-2)=(-2)^3+(-2)^2-8cdot(-2)+5=-8+4+16+5=17,
fl(tfrac43r)=l(tfrac43r)^3+l(tfrac43r)^2-8cdottfrac43+5 =6427+169-323+5 =-4127

Passo 5

Concluímos que:
  • Em x=-2 há um máximo local com valor f(-2)=17.
  • Em x=tfrac43 há um mínimo local com valor fl(tfrac43r)=-tfrac4127.

Resposta

Pontos críticos e extremos locais:
x=-2,&máximo local, f(-2)=17, x=tfrac43,&mínimo local, fl(tfrac43r)=-tfrac4127 áí

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