Resolver os seguintes problemas:
Se uma bola de neve derrete de tal forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 1 cm^2 / min, encontre a taxa segundo qual o diâmetro decresce quando o diâmetro for 5 cm .

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma bola de neve esférica cuja área de superfície S decresce a uma taxa constante de -1, cm^2/min. Queremos encontrar a taxa de variação do diâmetro D no instante em que D=5, cm. O conteúdo principal é “taxas relacionadas” em funções de uma variável.

Passo 2

Relacionar a área de superfície S com o raio r
Para uma esfera,
S = 4pi r^2
Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
dSdt = 8pi r,drdt

Passo 3

Isolar dfracdrdt
Da relação anterior segue
drdt =18pi r,dSdt
Como dfracdSdt=-1, cm^2/min,
drdt =-18pi r(cm/min)

Passo 4

Determinar dfracdrdt quando D=5, cm
Temos D=2r, logo quando D=5, cm
r = D2 = 52 = 2,5 cm
Substituindo em dfracdrdt,
drdt =-18pi,(2,5) =-120pi cm/min

Passo 5

Relacionar o diâmetro D com o raio e achar dfracdDdt
Como D=2r, derivando:
dDdt = 2,drdt
Logo, no instante considerado,
dDdt =2cdotl(-120pir) =-110pi cm/min

Resposta

dDdt = -110pi cm/min

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