Resolver os seguintes problemas:
Se uma bola de neve derrete de tal forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de
, encontre a taxa segundo qual o diâmetro decresce quando o diâmetro for 5 cm .
Se uma bola de neve derrete de tal forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos uma bola de neve esférica cuja área de superfície decresce a uma taxa constante de
,
. Queremos encontrar a taxa de variação do diâmetro
no instante em que
,
. O conteúdo principal é “taxas relacionadas” em funções de uma variável.
Temos uma bola de neve esférica cuja área de superfície
Passo 2
Relacionar a área de superfície
com o raio
Para uma esfera,
Para uma esfera,
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
, obtemos
Passo 3
Isolar
Da relação anterior segue
Da relação anterior segue
Como
,
,
Passo 4
Determinar
quando
,
Temos , logo quando
,
Temos
Substituindo em
,
Passo 5
Relacionar o diâmetro
com o raio e achar
Como , derivando:
Como
Logo, no instante considerado,