Determine os valores de m e q de modo que a equação x^2+q y^2+2 m x=1 represente:
a) Uma circunferência;
b) Uma elipse;
c) Uma parábola;
d) Uma hipérbole;
e) Uma reta;
f) Duas retas;
g) O conjunto vazio;
h) Um ponto.

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas de segunda ordem
x^2+q,y^2+2m,x=1
e pede os valores de m e q que fazem a curva ser, respectivamente, circunferência, elipse, parábola, hipérbole, reta, duas retas, conjunto vazio ou ponto. Vamos usar dois ingredientes principais:
1. Completar o quadrado em x.
2. O discriminante da parte quadrática B^2-4AC para classificar conicas não degeneradas, e a condição de degenerescência via determinante 3times 3 para achar casos de reta ou pares de retas.

Passo 2

Completo o quadrado em x:
x^2+2m,x = (x+m)^2-m^2
Substituindo em x^2+q,y^2+2m,x=1 resulta
(x+m)^2 + q,y^2 = 1 + m^2

Passo 3

Identifico a forma geral A x^2+2B xy + C y^2 + 2D x +2E y +F=0 com A=1, B=0, C=q, D=m, E=0, F=-1.
O discriminante quadrático é
De<a = B^2-A,C = 0^2-1cdot q = -q
  • Se De<a<0 ( q>0) => elipse (ou círculo se A=C).
  • Se De<a=0 ( q=0) => parábola (mas pode degenerar).
  • Se De<a>0 ( q<0) => hipérbole.

Passo 4

Caractero não degenerado: exigimos (sempre satisfeito em ).
a) Circunferência: é caso especial de elipse com coeficientes iguais em e , logo
b) Elipse (não círculo): coeficientes positivos e distintos, isto é
c) Parábola não-degenerada: requer mas aí a curva degenera em duas retas (veja passo ), logo não há parâmetro que produza uma parábola real e não-degenerada.
d) Hipérbole: coeficientes de sinais opostos, isto é

Passo 5

Casos degenerados: calculo o determinante da matriz 3times 3 da cônica
A & B & D B & C & E D & E & F = 1 & 0 & m 0 & q & 0 m & 0 & -1 = -q,(1+m^2)
Essa quantia anula-se exatamente se q=0.
  • Para q=0 a equação vira (x+m)^2=1+m^2, ou seja
x = -m pm raiz1+m^2,
duas retas paralelas.
Não há como obter reta única (coincidente) porque exigir raiz1+m^2=0 não tem solução real. Tampouco surgem vazio ou ponto isolado, pois o lado direito 1+m^2 é sempre positivo.

Resposta

a) Circunferência: .
b) Elipse (não círculo): .
c) Parábola: não existe par .
d) Hipérbole: .
e) Reta única: não existe par .
f) Duas retas: .
g) Conjunto vazio: não existe par .
h) Ponto isolado: não existe par .

Exercícios relacionados