Determine os valores de e de modo que a equação represente:
a) Uma circunferência;
b) Uma elipse;
c) Uma parábola;
d) Uma hipérbole;
e) Uma reta;
f) Duas retas;
g) O conjunto vazio;
h) Um ponto.
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas de segunda ordem
e pede os valores de e que fazem a curva ser, respectivamente, circunferência, elipse, parábola, hipérbole, reta, duas retas, conjunto vazio ou ponto. Vamos usar dois ingredientes principais: . Completar o quadrado em . . O discriminante da parte quadrática para classificar conicas não degeneradas, e a condição de degenerescência via determinante para achar casos de reta ou pares de retas.
Passo 2
Completo o quadrado em :
Substituindo em resulta
Passo 3
Identifico a forma geral com , , , , , .
O discriminante quadrático é
Se () > elipse (ou círculo se ).
Se () > parábola (mas pode degenerar).
Se () > hipérbole.
Passo 4
Caractero não degenerado: exigimos (sempre satisfeito em ).
a) Circunferência: é caso especial de elipse com coeficientes iguais em e , logo
b) Elipse (não círculo): coeficientes positivos e distintos, isto é
c) Parábola não-degenerada: requer mas aí a curva degenera em duas retas (veja passo ), logo não há parâmetro que produza uma parábola real e não-degenerada.
d) Hipérbole: coeficientes de sinais opostos, isto é
Passo 5
Casos degenerados: calculo o determinante da matriz da cônica
Essa quantia anula-se exatamente se q=0.
Para q=0 a equação vira (x+m)^2=1+m^2, ou seja
x = -m pm raiz1+m^2,
duas retas paralelas.
Não há como obter reta única (coincidente) porque exigir raiz1+m^2=0 não tem solução real. Tampouco surgem vazio ou ponto isolado, pois o lado direito 1+m^2 é sempre positivo.
Resposta
a) Circunferência: .
b) Elipse (não círculo): .
c) Parábola: não existe par .
d) Hipérbole: .
e) Reta única: não existe par .
f) Duas retas: .
g) Conjunto vazio: não existe par .
h) Ponto isolado: não existe par .