O eixo maior de uma elipse é o diâmetro da circunferência
. Determine a equação da elipse concêntrica (mesmo centro) a esta circunferência e de excentricidade
.
Passo 1
O enunciado dá uma circunferência
e pede uma elipse com o mesmo centro (concentrica), cujo eixo maior é um diâmetro dessa circunferência e cuja excentricidade é
. Vamos:
- Encontrar o centro e o raio da circunferência.
- Igualar o dobro do semi-eixo maior da elipse ao diâmetro da circunferência.
- Usar
para achar e daí . - Escrever a equação canônica da elipse.
Passo 2
Complete o quadrado para achar o centro
e o raio
da circunferência:
Logo o centro é
e o raio é
.
Passo 3
O enunciado diz que o eixo maior da elipse é o diâmetro da circunferência. Como o diâmetro da circunferência vale
, temos para a elipse
Passo 4
A excentricidade da elipse é dada por
Como
, segue
Passo 5
O semi-eixo menor
satisfaz
Passo 6
Como a elipse é concêntrica à circunferência em
e assume eixos alinhados aos eixos coordenados, a forma canônica é
substituindo
e
.