O eixo maior de uma elipse é o diâmetro da circunferência x^2+y^2-10 x+8 y-59=0. Determine a equação da elipse concêntrica (mesmo centro) a esta circunferência e de excentricidade 45.

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência
x^2+y^2-10x+8y-59=0
e pede uma elipse com o mesmo centro (concentrica), cujo eixo maior é um diâmetro dessa circunferência e cuja excentricidade é tfrac45. Vamos:
  • Encontrar o centro e o raio da circunferência.
  • Igualar o dobro do semi-eixo maior da elipse ao diâmetro da circunferência.
  • Usar e = tfracca = tfrac45 para achar c e daí b.
  • Escrever a equação canônica da elipse.

Passo 2

Complete o quadrado para achar o centro (x0,y0) e o raio r da circunferência:
x^2-10x + y^2+8y =59
(x-5)^2-25 + (y+4)^2-16 =59
(x-5)^2 + (y+4)^2 =59 +25 +16 =100
Logo o centro é (5,-4) e o raio é r=10.

Passo 3

O enunciado diz que o eixo maior da elipse é o diâmetro da circunferência. Como o diâmetro da circunferência vale 2r = 20, temos para a elipse
2a = 20
a = 10

Passo 4

A excentricidade da elipse é dada por
e = ca = 45
Como a=10, segue
c = a,e = 10 times 45 = 8

Passo 5

O semi-eixo menor b satisfaz
b = raiza^2-c^2 = raiz10^2 - 8^2 = raiz100 - 64 = 6

Passo 6

Como a elipse é concêntrica à circunferência em (5,-4) e assume eixos alinhados aos eixos coordenados, a forma canônica é
(x-5)^2a^2 + (y+4)^2b^2 = 1
substituindo a=10 e b=6.

Resposta

(x-5)^2100 ;+;(y+4)^236 ;=;1

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