Obtenha a transposta da matriz

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transposta da matriz [A) que está em . A matriz tem elementos definidos por:
Para resolver, precisamos entender como construir a matriz (A] e depois aplicar a operação de transposição, que troca as linhas pelas colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A . Sabemos que A tem 2 linhas e 4 colunas. Vamos calcular cada elemento aij usando a regra dada.
Para i = 1 :
  • a11 : Como i = j = 1 , usamos a11 = 2(1) + 1 = 3
  • a12 : i neq j , então a12 = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1
  • a13 : i neq j , então a13 = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2
  • a14 : i neq j , então a14 = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3
Para i = 2 :
  • a21 : i neq j , então a21 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3
  • a22 : Como i = j = 2 , usamos a22 = 2(2) + 2 = 6
  • a23 : i neq j , então a23 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1
  • a24 : i neq j , então a24 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0
Então, a matriz A fica:
A = 3 & -1 & -2 & -3 3 & 6 & 1 & 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transposta da matriz A , que é chamada de A^T . A transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, a primeira linha de A vira a primeira coluna de A^T , a segunda linha vira a segunda coluna, e assim por diante.
A matriz original A tem dimensões 2 times 4 . Então, a transposta A^T terá dimensões 4 times 2 .
Vamos fazer a troca:
  • Primeira coluna de A^T :
    • Primeiro elemento: 3 (primeira linha, primeira coluna de A )
    • Segundo elemento: 3 (segunda linha, primeira coluna de A )
  • Segunda coluna de A^T :
    • Primeiro elemento: -1 (primeira linha, segunda coluna de A )
    • Segundo elemento: 6 (segunda linha, segunda coluna de A )
  • Terceira coluna de A^T :
    • Primeiro elemento: -2 (primeira linha, terceira coluna de A )
    • Segundo elemento: 1 (segunda linha, terceira coluna de A )
  • Quarta coluna de A^T :
    • Primeiro elemento: -3 (primeira linha, quarta coluna de A )
    • Segundo elemento: 0 (segunda linha, quarta coluna de A )

Resposta

A transposta da matriz A é:
A^T = 3 & 3 -1 & 6 -2 & 1 -3 & 0

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