Determine os valores de m e q de modo que a equação x^2+q y^2+2 m x=1 represente:
Uma elipse;

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^2 + q,y^2 + 2,m,x = 1
e pede para encontrarmos os valores de m e q de modo que isso represente uma elipse. Vamos usar o método de completar o quadrado em x e, em seguida, analisar os sinais dos coeficientes na forma reduzida.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no termo que envolve x. Reescrevendo
x^2 + 2,m,x = (x + m)^2 - m^2
Logo, a equação original fica
(x + m)^2 - m^2 + q,y^2 = 1

Passo 3

Passamos o termo -m^2 para o outro lado e agrupamos:
(x + m)^2 + q,y^2 = 1 + m^2
Dividindo tudo por 1 + m^2, que é sempre positivo, obtemos a forma canônica
(x + m)^21 + m^2 ;+;q,y^21 + m^2 ;=;1
Ou seja,
(x + m)^21 + m^2 ;+;y^21 + m^2q ;=;1

Passo 4

Para que isso seja uma elipse, precisamos que os denominadores das frações sejam positivos. Como 1 + m^2>0 para todo m, sobra a condição
q > 0
Não há restrição em m, pois 1 + m^2 nunca anula nem muda de sinal.

Resposta

Os valores são
q > 0, minR

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