Determine os valores de a e b de modo que a função f(x)=a x^2+6 b x-11 x^3 tenha um máximo local em (3,1). Nesse caso, o valor de b será:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de a e b para que a função f(x) = a x^2 + 6b x - 11x^3 tenha um máximo local no ponto (3,1) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar extremos (máximos e mínimos) de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o ponto (3,1) esteja na função. Isso significa que quando x = 3 , f(x) = 1 . Vamos substituir esses valores na função:
1 = a (3)^2 + 6b (3) - 11 (3)^3
Simplificando:
1 = 9a + 18b - 297

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar:
9a + 18b = 298
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 9:
a + 2b = 2989

Passo 4

Em seguida, precisamos usar a condição de que (3,1) é um ponto de máximo local. Para isso, a derivada da função em x = 3 deve ser zero. Vamos calcular a derivada de f(x) :
f'(x) = ddx(a x^2 + 6b x - 11x^3) = 2a x + 6b - 33x^2

Passo 5

Agora, vamos igualar a derivada a zero no ponto x = 3 :
0 = 2a (3) + 6b - 33 (3)^2
Simplificando:
0 = 6a + 6b - 297

Passo 6

Vamos reorganizar essa equação:
6a + 6b = 297
Podemos dividir todos os termos por 6:
a + b = 2976 = 49,5

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações:
a + 2b = 2989 a + b = 49,5
Vamos resolver esse sistema subtraindo a segunda equação da primeira:
(a + 2b) - (a + b) = 2989 - 49,5
Simplificando:
b = 2989 - 49,5 = 2989 - 89118 = 596 - 89118 = -29518

Resposta

O valor de b é -dfrac29518 .

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