Para que a função f(x)=22 H x^33+8 x^5 / 25 raiz3+x^2 tenha concavidade para cima em algum intervalo contendo o ponto x=43, é necessário que H satisfaça:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) = 22 H x^33 + 8 x^5/25 raiz3 + x^2 e queremos descobrir qual valor de H faz com que essa função seja côncava para cima num intervalo que inclui o ponto x = 43 . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para analisar a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada com a segunda derivada dela. Se a segunda derivada f''(x) for maior que zero em um intervalo, então a função é côncava para cima nesse intervalo. Nosso objetivo é encontrar H tal que f''(43) > 0 .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada f'(x) . A derivada de 22 H x^33 é 22 H x^2 , já que aplicamos a regra da potência ddxx^n = n x^n-1 . A derivada de 8 x^5/25 raiz3 é 8 times 52 x^3/25 raiz3 = 4 x^3/2raiz3 . E a derivada de x^2 é 2x . Então:
f'(x) = 22 H x^2 + 4 x^3/2raiz3 + 2x

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada f''(x) . Derivando f'(x) , temos:
  • A derivada de 22 H x^2 é 44 H x .
  • A derivada de 4 x^3/2raiz3 é 4 times 32 x^1/2raiz3 = 6 x^1/2raiz3 .
  • A derivada de 2x é 2 .
Então:
f''(x) = 44 H x + 6 raizxraiz3 + 2

Passo 5

Queremos que f''(43) > 0 . Vamos substituir x = 43 na segunda derivada:
f''(43) = 44 H (43) + 6 raiz43raiz3 + 2
Vamos simplificar cada termo:
  1. 44 H (43) = 176 H3
  2. raiz43 = 2raiz3 , então:
6 times 2raiz3raiz3 = 123 = 4
  1. O último termo é 2.
Então:
f''(43) = 176 H3 + 4 + 2 = 176 H3 + 6

Passo 6

Agora, queremos que isso seja maior que zero:
176 H3 + 6 > 0
Vamos resolver para H :
176 H3 > -6 176 H > -18 H > -18176 H > -988

Resposta

O valor de H precisa ser maior que -988 para que a função seja côncava para cima no intervalo que inclui x = 43 .

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