Para que a função
tenha concavidade para cima em algum intervalo contendo o ponto
, é necessário que
satisfaça:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e queremos descobrir qual valor de
faz com que essa função seja côncava para cima num intervalo que inclui o ponto
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para analisar a concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada com a segunda derivada dela. Se a segunda derivada
for maior que zero em um intervalo, então a função é côncava para cima nesse intervalo. Nosso objetivo é encontrar
tal que
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
. A derivada de
é
, já que aplicamos a regra da potência
. A derivada de
é
. E a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Derivando
, temos:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então:
Passo 5
Queremos que
. Vamos substituir
na segunda derivada:
Vamos simplificar cada termo:
-
-
, então:
- O último termo é 2.
Então:
Passo 6
Agora, queremos que isso seja maior que zero:
Vamos resolver para
:
Resposta
O valor de
precisa ser maior que
para que a função seja côncava para cima no intervalo que inclui
.