Queremos construir uma caixa com tampa, cujo comprimento da base é 8 vezes a largura da base. O material utilizado para construir a parte superior e inferior custa \, determine qual o custo mínimo para essa caixa em reais.
Insira a resposta com quatro casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos construir uma caixa com tampa onde o comprimento da base é 8 vezes a largura. O volume da caixa deve ser de 800 m³. Além disso, temos os custos dos materiais: 3,1 ²R$2,55$ por m² para os lados. Nosso objetivo é encontrar o custo mínimo para construir essa caixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria para calcular áreas e volume, além de cálculo para otimizar o custo.

Passo 2

Vamos começar definindo as variáveis:
  • Seja w a largura da base da caixa.
  • Então, o comprimento da base será 8w .
  • Seja h a altura da caixa.

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
V = comprimento times largura times a<ura = 8w times w times h = 8w^2h
Como o volume é 800 m³, temos:
8w^2h = 800 implies h = 8008w^2 = 100w^2

Passo 4

Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes da caixa:
  • Área da parte superior e inferior (2 partes):
Asuperior e inferior = 2 times (comprimento times largura) = 2 times (8w times w) = 16w^2
  • Área dos lados (4 lados):
Alados = 2 times (comprimento times a<ura) + 2 times (largura times a<ura) = 2 times (8w times h) + 2 times (w times h) = 16wh + 2wh = 18wh

Passo 5

O custo total C será a soma do custo das partes superiores/inferiores e dos lados:
C = (Asuperior e inferior times 3,1) + (Alados times 2,55) = 3,1 times 16w^2 + 2,55 times 18wh
Substituindo h por 100w^2 :
C = 3,1 times 16w^2 + 2,55 times 18w times 100w^2 = 49,6w^2 + 4590w

Passo 6

Para encontrar o custo mínimo, precisamos minimizar a função C(w) = 49,6w^2 + 4590w . Vamos usar cálculo para isso. Calculamos a derivada de C em relação a w e igualamos a zero:
C'(w) = 99,2w - 4590w^2 = 0
Resolvendo para w :
99,2w = 4590w^2 implies 99,2w^3 = 4590 implies w^3 = 459099,2 approx 46,305 implies w approx 3,5835 , m

Passo 7

Agora que temos w , podemos encontrar h :
h = 100w^2 approx 100(3,5835)^2 approx 10012,843 approx 7,78 , m

Passo 8

Finalmente, calculamos o custo mínimo substituindo w na função C(w) :
C approx 49,6 times (3,5835)^2 + 45903,5835 approx 49,6 times 12,843 + 1280,869 approx 637,012 + 1280,869 approx 1917,881 , R$

Resposta

O custo mínimo para construir a caixa é de R$1917,8810.

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