Queremos construir uma caixa com tampa, cujo comprimento da base é 8 vezes a largura da base. O material utilizado para construir a parte superior e inferior custa
\, determine qual o custo mínimo para essa caixa em reais.
Insira a resposta com quatro casas decimais.
Insira a resposta com quatro casas decimais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos construir uma caixa com tampa onde o comprimento da base é 8 vezes a largura. O volume da caixa deve ser de 800 m³. Além disso, temos os custos dos materiais:
3,1
R$2,55$ por m² para os lados. Nosso objetivo é encontrar o custo mínimo para construir essa caixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria para calcular áreas e volume, além de cálculo para otimizar o custo.
Passo 2
Vamos começar definindo as variáveis:
- Seja
a largura da base da caixa. - Então, o comprimento da base será
. - Seja
a altura da caixa.
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Como o volume é 800 m³, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes da caixa:
- Área da parte superior e inferior (2 partes):
- Área dos lados (4 lados):
Passo 5
O custo total
será a soma do custo das partes superiores/inferiores e dos lados:
Substituindo
por
:
Passo 6
Para encontrar o custo mínimo, precisamos minimizar a função
. Vamos usar cálculo para isso. Calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
:
Passo 8
Finalmente, calculamos o custo mínimo substituindo
na função
:
Resposta
O custo mínimo para construir a caixa é de R$1917,8810.