Determine os valores de
e
de modo que a função
tenha a mesma assíntota inclinada que a função
quando
. Nesse, caso o valor de
será:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
e
para que a função
tenha a mesma assíntota inclinada que a função
quando
vai para o infinito. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a assíntota inclinada de uma função e comparar as duas funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual é a assíntota inclinada da função
quando
vai para o infinito. Uma assíntota inclinada é uma reta que a função se aproxima quando
fica muito grande (positivamente ou negativamente).
Para encontrar a assíntota de
, observamos que para valores grandes de
, o termo dominante dentro da raiz é
. Então, podemos simplificar:
Mas precisamos considerar o próximo termo para ser mais precisos. Então, a expansão fica:
Portanto, a assíntota inclinada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a assíntota inclinada da função
.
Primeiro, observamos os graus do polinômio no numerador e no denominador. O numerador é de grau 3 (por causa do termo
) e o denominador é de grau 2. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a função terá uma assíntota inclinada.
Para encontrar essa assíntota, dividimos o polinômio do numerador pelo do denominador usando divisão polinomial ou considerando apenas os termos de maior grau:
Então, a parte linear da assíntota inclinada de
é
.
Passo 4
Agora, queremos que as duas funções
e
tenham a mesma assíntota inclinada, ou seja:
Para isso, os coeficientes de
devem ser iguais e os termos constantes também devem se igualar. Vamos igualar os coeficientes de
:
Agora, resolvemos para
:
Com o valor de
encontrado, vamos agora considerar os termos constantes para encontrar
. Porém, como os termos constantes na assíntota inclinada de
não afetaram a parte linear principal, focaremos apenas no valor de
para determinar
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos voltar à expressão original da função
e substituir
para encontrar
.
A função ficou:
Para que a assíntota inclinada seja
, já encontramos que
e que o coeficiente de
na assíntota de
é
.
Agora, precisamos ajustar o termo de
no numerador para garantir que não afete a parte linear da assíntota. Isso significa que o termo
deve ser cancelado pelo denominador quando dividimos.
Para isso, a equação
dividida por
deve resultar apenas em uma parte linear. Comparando os termos, concluímos que
(para cancelar o efeito do denominador).
Então:
Resposta
A alternativa correta é a letra a.
.