Determine os valores de c e d de modo que a função f(x)=3 c x^2+15 d x^3+d+4x^2-4 x tenha a mesma assíntota inclinada que a função h(x)=raiz9 x^2+114 x+16 quando x infty. Nesse, caso o valor de c será:
a. -83
b. 73
c. -313
d. 313
e. -73

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de c e d para que a função f(x) = 3c x^2 + 15d x^3 + d + 4x^2 - 4x tenha a mesma assíntota inclinada que a função h(x) = raiz9x^2 + 114x + 16 quando x vai para o infinito. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a assíntota inclinada de uma função e comparar as duas funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a assíntota inclinada da função h(x) = raiz9x^2 + 114x + 16 quando x vai para o infinito. Uma assíntota inclinada é uma reta que a função se aproxima quando x fica muito grande (positivamente ou negativamente).
Para encontrar a assíntota de h(x) , observamos que para valores grandes de x , o termo dominante dentro da raiz é 9x^2 . Então, podemos simplificar:
h(x) = raiz9x^2 + 114x + 16 approx raiz9x^2 = 3x
Mas precisamos considerar o próximo termo para ser mais precisos. Então, a expansão fica:
h(x) = 3x + 1142 times 3 = 3x + 19
Portanto, a assíntota inclinada de h(x) é y = 3x + 19 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota inclinada da função f(x) = 3c x^2 + 15d x^3 + d + 4x^2 - 4x .
Primeiro, observamos os graus do polinômio no numerador e no denominador. O numerador é de grau 3 (por causa do termo 15d x^3 ) e o denominador é de grau 2. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a função terá uma assíntota inclinada.
Para encontrar essa assíntota, dividimos o polinômio do numerador pelo do denominador usando divisão polinomial ou considerando apenas os termos de maior grau:
f(x) approx 15d x^3x^2 = 15d x
Então, a parte linear da assíntota inclinada de f(x) é 15d x .

Passo 4

Agora, queremos que as duas funções f(x) e h(x) tenham a mesma assíntota inclinada, ou seja:
15d x = 3x + 19
Para isso, os coeficientes de x devem ser iguais e os termos constantes também devem se igualar. Vamos igualar os coeficientes de x :
15d = 3
Agora, resolvemos para d :
d = 315 = 15
Com o valor de d encontrado, vamos agora considerar os termos constantes para encontrar c . Porém, como os termos constantes na assíntota inclinada de f(x) não afetaram a parte linear principal, focaremos apenas no valor de d para determinar c .

Passo 5

Agora que sabemos que d = 15 , vamos voltar à expressão original da função f(x) e substituir d para encontrar c .
A função ficou:
f(x) = 3c x^2 + 15 (15) x^3 + 15 + 4x^2 - 4x = 3c x^2 + 3x^3 + 215x^2 - 4x
Para que a assíntota inclinada seja y = 3x + 19 , já encontramos que d = 15 e que o coeficiente de x na assíntota de f(x) é 15d = 3 .
Agora, precisamos ajustar o termo de x^2 no numerador para garantir que não afete a parte linear da assíntota. Isso significa que o termo 3c x^2 deve ser cancelado pelo denominador quando dividimos.
Para isso, a equação 3c x^2 + 3x^3 dividida por x^2 - 4x deve resultar apenas em uma parte linear. Comparando os termos, concluímos que 3c = -12 (para cancelar o efeito do denominador).
Então:
3c = -12 implies c = -4

Resposta

A alternativa correta é a letra a. -83 .

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