Queremos construir uma caixa com tampa, cujo comprimento da base é 7 vezes a largura da base. O material utilizado para construir a parte superior e inferior custa
5.1 m^{2}
R\, determine qual o custo mínimo para essa caixa em reais.
Insira a resposta com quatro casas decimais.
Resposta:
Insira a resposta com quatro casas decimais.
Resposta:
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização para construir uma caixa com tampa. A base da caixa tem um comprimento que é 7 vezes a largura. O objetivo é encontrar o custo mínimo para construir essa caixa, dado que o volume deve ser de
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria e cálculo para expressar o custo em função das dimensões da caixa e então minimizar essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
a largura da base da caixa (em metros). - Então, o comprimento da base será
. - Seja
a altura da caixa.
Como o volume
da caixa é dado por:
E sabemos que
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes da caixa:
- Área da parte superior e inferior: São duas retângulos iguais, cada um com área
. Então, a área total é:
- Área dos lados: São quatro retângulos. Dois deles têm área
e os outros dois têm área . Então, a área total dos lados é:
Passo 4
Vamos calcular o custo dos materiais:
- Custo das partes superior e inferior: O custo por metro quadrado é R$ 5,10. Então:
- Custo dos lados: O custo por metro quadrado é R$ 3,55. Então:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 5
A função de custo total
é a soma dos custos das partes superiores/inferiores e dos lados:
Para simplificar, vamos calcular
:
Então, a função de custo fica:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza o custo, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
A derivada de
é:
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o valor de
utilizando
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
e
na função de custo para encontrar o custo mínimo: