Queremos construir uma caixa com tampa, cujo comprimento da base é 7 vezes a largura da base. O material utilizado para construir a parte superior e inferior custa 5.1 m^{2} çãR\, determine qual o custo mínimo para essa caixa em reais.
Insira a resposta com quatro casas decimais.
Resposta:

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização para construir uma caixa com tampa. A base da caixa tem um comprimento que é 7 vezes a largura. O objetivo é encontrar o custo mínimo para construir essa caixa, dado que o volume deve ser de 1000 , m^3. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de geometria e cálculo para expressar o custo em função das dimensões da caixa e então minimizar essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja x a largura da base da caixa (em metros).
  • Então, o comprimento da base será 7x .
  • Seja h a altura da caixa.
Como o volume V da caixa é dado por:
V = comprimento times largura times a<ura = 7x times x times h = 7x^2h
E sabemos que V = 1000 , m^3 . Portanto:
7x^2h = 1000 implies h = 10007x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das diferentes partes da caixa:
  • Área da parte superior e inferior: São duas retângulos iguais, cada um com área 7x times x = 7x^2 . Então, a área total é:
Asuperior e inferior = 2 times 7x^2 = 14x^2
  • Área dos lados: São quatro retângulos. Dois deles têm área 7x times h e os outros dois têm área x times h . Então, a área total dos lados é:
Alados = 2 times 7x times h + 2 times x times h = 14xh + 2xh = 16xh

Passo 4

Vamos calcular o custo dos materiais:
  • Custo das partes superior e inferior: O custo por metro quadrado é R$ 5,10. Então:
  • Custo dos lados: O custo por metro quadrado é R$ 3,55. Então:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 5

A função de custo total C(x) é a soma dos custos das partes superiores/inferiores e dos lados:
C(x) = 71,4x^2 + 568007x
Para simplificar, vamos calcular 568007 :
568007 = 8114,2857
Então, a função de custo fica:
C(x) = 71,4x^2 + 8114,2857x

Passo 6

Para encontrar o valor de x que minimiza o custo, vamos derivar C(x) em relação a x e igualar a derivada a zero.
A derivada de C(x) é:
C'(x) = ddx(71,4x^2) + ddx(8114,2857x) = 142,8x - 8114,2857x^2
Igualando a derivada a zero:
142,8x - 8114,2857x^2 = 0 implies 142,8x = 8114,2857x^2
Multiplicando ambos os lados por x^2 :
142,8x^3 = 8114,2857 implies x^3 = 8114,2857142,8 approx 56,81
Então:
x approx raiz[3]56,81 approx 3,8294 , m

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor de h utilizando h = 10007x^2 :
h = 10007 times (3,8294)^2 approx 10007 times 14,6661 approx 1000102,6627 approx 9,7454 , m

Passo 8

Finalmente, substituímos x e h na função de custo para encontrar o custo mínimo:
C(x) = 71,4x^2 + 8114,2857x = 71,4 times (3,8294)^2 + 8114,28573,8294 approx 71,4 times 14,6661 + 2117,14 approx 1047,5 + 2117,14 approx 3164,64 , reais

Resposta

Custo mínimo = R$,3164,6400 í

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