Transforme a seguinte integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e resolva a integral
Passo 1
Fala, tudo certo? A gente tem que transformar e calcular a integral tripla
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais múltiplas (coordenadas cilíndricas) e a gente vai precisar entender:
- como representar
em cilindricas, - o que é o Jacobiano,
- como achar os limites de
, e , - e como executar a integração em cada variável passo a passo. Beleza?
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a gente define
e o diferencial de área no plano
vira
onde esse fator
é o Jacobiano, que aparece porque as “tiras” circulares vão crescendo com a distância ao eixo.
Agora, olhando pros limites originais em :
Agora, olhando pros limites originais em
isso significa
. Em cilíndricas fica
e como é a volta toda do círculo,
vai de
a
.
Por fim, varia entre
Por fim,
Passo 3
Montando a integral em
, o integrando é
(porque não tinha função explícita) e o diferencial de volume é
. Então:
Passo 4
Primeiro integramos em
, tratando
como constante:
Então a integral reduz a
Passo 5
Agora fazemos a parte em
:
Fica então
Resposta
O valor da integral tripla é
.