Transforme a seguinte integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e resolva a integral

Passo 1

Fala, tudo certo? A gente tem que transformar e calcular a integral tripla
integral-raiz2^raiz2integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2integralx^2+y^2^4-x^2-y^2dz,dy,dx
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais múltiplas (coordenadas cilíndricas) e a gente vai precisar entender:
  1. como representar (x,y,z) em cilindricas,
  2. o que é o Jacobiano,
  3. como achar os limites de r, theta e z,
  4. e como executar a integração em cada variável passo a passo. Beleza?

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a gente define
x = rcostheta, y = rsintheta,
e o diferencial de área no plano xy vira
dx,dy = r,dr,dtheta,
onde esse fator r é o Jacobiano, que aparece porque as “tiras” circulares vão crescendo com a distância ao eixo.
Agora, olhando pros limites originais em x,y:
-raiz2 <= x <= raiz2, -raiz2-x^2<= y<= raiz2-x^2
isso significa x^2+y^2<=2. Em cilíndricas fica
r^2 <= 2Longrightarrow 0<= r<= raiz2,
e como é a volta toda do círculo, theta vai de 0 a 2pi.
Por fim, z varia entre
zmin=x^2+y^2 = r^2, zmax=4 - (x^2+y^2) = 4 - r^2

Passo 3

Montando a integral em (r,theta,z), o integrando é 1 (porque não tinha função explícita) e o diferencial de volume é r,dz,dr,dtheta. Então:
integraltheta=0^2pi!integralr=0^raiz2!integralz=r^2^4-r^2 1cdot r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z, tratando r como constante:
integralz=r^2^4-r^2 r,dz = rl[(4-r^2) - r^2r] = r(4 - 2r^2) = 4r - 2r^3
Então a integral reduz a
integraltheta=0^2pi!integralr=0^raiz2 l(4r - 2r^3r),dr,dtheta

Passo 5

Agora fazemos a parte em r:
integral0^raiz2 (4r - 2r^3),dr = l[2r^2 - tfrac12r^4r]0^raiz2 = l(2cdot2 - tfrac12cdot4r) - 0 = 4 - 2 = 2
Fica então
integral0^2pi 2,dtheta = 2cdot(2pi) = 4pi

Resposta

O valor da integral tripla é 4pi.

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