Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
(t+1) d yd t+y=ln t, y(1)=10

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
(t+1),dydt+y=ln t, y(1)=10,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos colocá-la na forma padrão
dydt+P(t),y=Q(t)
e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo por t+1 (assumindo tneq -1), obtemos
dydt+1t+1,y=ln tt+1
Aqui P(t)=tfrac1t+1 e Q(t)=tfracln tt+1.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr) =expl(integral1t+1,dtr) =expl(ln|t+1|r)=t+1,
já que no nosso intervalo t>0 temos t+1>0.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)
(t+1)dydt+y =ln t,
que é exatamente
ddtl[(t+1)yr]=ln t
Integramos em t:
(t+1)y=integralln t,dt + C =tln t - t + C

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(1)=10:
(1+1)cdot10 = 2cdot10 = 20 = 1cdotln1 -1 + C = -1 + C ;Longrightarrow;C=21

Passo 6

Substituindo C na expressão geral:
(t+1)y = tln t - t + 21 Longrightarrow y(t)=tln t - t + 21t+1

Passo 7

Para que tudo faça sentido precisamos de tneq -1 (denominador) e de t>0 (logaritmo). Como o ponto inicial t=1 está em (0,infty), o maior intervalo de definição da solução que contém t=1 é
(0,infty)

Resposta

y(t)=tln t - t + 21t+1, tin(0,infty)

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