Suponha que
é diferenciável e que exista uma constante
tal que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
diferenciável, e define umas novas variáveis
por
O objetivo é mostrar que o “tamanho” do gradiente de
é o mesmo escrito nos dois sistemas de coordenadas, ou seja
O conteúdo principal que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia para escrever
e
em função de
e
. Em geral,
Passo 3
Calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Logo
onde escrevemos
e
.
Passo 4
Agora somamos o quadrado das duas derivadas:
Somando:
Passo 5
Expandindo e usando as identidades
e vendo que os termos mistos se anulam, obtemos
Portanto