Suponha que w=f(x, y) é diferenciável e que exista uma constante alpha tal que x=u cos (alpha)- v sen(alpha), y=u sen(alpha)+v cos (alpha). Mostre que
(partial wpartial u)^2+(partial wpartial v)^2=(partial wpartial x)^2+(partial wpartial y)^2

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função ,w=f(x,y), diferenciável, e define umas novas variáveis (u,v) por
x = ucos(alpha)-vsen(alpha), y = usen(alpha)+vcos(alpha)
O objetivo é mostrar que o “tamanho” do gradiente de w é o mesmo escrito nos dois sistemas de coordenadas, ou seja
l(partial wpartial ur)^2 +l(partial wpartial vr)^2 = l(partial wpartial xr)^2 +l(partial wpartial yr)^2
O conteúdo principal que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas parciais e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para escrever partial w/partial u e partial w/partial v em função de partial w/partial x e partial w/partial y. Em geral,
partial wpartial u = partial wpartial x,partial xpartial u + partial wpartial y,partial ypartial u, partial wpartial v = partial wpartial x,partial xpartial v + partial wpartial y,partial ypartial v

Passo 3

Calculamos as derivadas de x e y em relação a u,v:
partial xpartial u=cos(alpha), partial ypartial u=sen(alpha), partial xpartial v=-sen(alpha), partial ypartial v=cos(alpha)
Logo
partial wpartial u = wxcos(alpha) + wysen(alpha), partial wpartial v = -,wxsen(alpha) + wycos(alpha),
onde escrevemos wx=partial w/partial x e wy=partial w/partial y.

Passo 4

Agora somamos o quadrado das duas derivadas:
l(partial wpartial ur)^2 = l(wxcosalpha + wysenalphar)^2, l(partial wpartial vr)^2 = l(-wxsenalpha + wycosalphar)^2
Somando:
l(wxcosalpha + wysenalphar)^2 +l(-wxsenalpha + wycosalphar)^2

Passo 5

Expandindo e usando as identidades
cos^2alpha+sen^2alpha=1 e vendo que os termos mistos se anulam, obtemos
wx^2(cos^2alpha+sen^2alpha) + wy^2(sen^2alpha+cos^2alpha) = wx^2 + wy^2
Portanto
l(partial wpartial ur)^2 +l(partial wpartial vr)^2 = wx^2 + wy^2 = l(partial wpartial xr)^2 +l(partial wpartial yr)^2

Resposta

l(partial wpartial ur)^2 +l(partial wpartial vr)^2 =l(partial wpartial xr)^2 +l(partial wpartial yr)^2

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