Queremos construir uma caixa com tampa, cujo comprimento da base é 5 vezes a largura da base. O material utilizado para construir a parte superior e inferior custa 3.1 m^{2} çãR $2.55 m^{2} 600 \mathrm{~m}^{3}$, determine qual o custo mínimo para essa caixa em reais.
Insira a resposta com quatro casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir uma caixa com tampa onde o comprimento da base é 5 vezes a largura. O custo dos materiais varia: parte superior e inferior custam R$3,1 por metro quadrado, e os lados custam R$ 2,55 por metro quadrado. Além disso, a caixa deve ter um volume de 600 metros cúbicos. Nosso objetivo é encontrar qual é o custo mínimo para construir essa caixa. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo, especificamente otimização de funções.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões da caixa. Vamos chamar a largura da base de x metros. Como o comprimento é 5 vezes a largura, temos:
Comprimento = 5x
E vamos chamar a altura da caixa de h metros.

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
V = Comprimento times Largura times A<ura
Substituindo pelas variáveis que definimos:
600 = 5x times x times h
Simplificando:
600 = 5x^2 h

Passo 4

Vamos isolar a altura h na equação acima para expressá-la em termos de x :
h = 6005x^2 = 120x^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a área total dos materiais usados na caixa. A caixa tem tampa e base, além dos quatro lados.
  • Área da tampa e base:
2 times (Comprimento times Largura) = 2 times (5x times x) = 10x^2
  • Área dos lados:
2 times (Comprimento times A<ura) + 2 times (Largura times A<ura) = 2 times (5x times h) + 2 times (x times h) = 10xh + 2xh = 12xh

Passo 6

Com as áreas calculadas, vamos agora determinar o custo total da caixa:
Custo Total = (Área da tampa e base times Custo por m^2 da tampa e base) + (Área dos lados times Custo por m^2 dos lados) ÁÁ
Substituindo os valores:
C = 10x^2 times 3,1 + 12xh times 2,55
C = 31x^2 + 30,6xh

Passo 7

Lembrando que já encontramos h = 120x^2 , vamos substituir isso na equação do custo:
C = 31x^2 + 30,6x times 120x^2
C = 31x^2 + 3672x

Passo 8

Para encontrar o custo mínimo, precisamos derivar a função C(x) em relação a x e igualar a derivada a zero:
C'(x) = ddx (31x^2 + 3672x) = 62x - 3672x^2
Igualando a zero:
62x - 3672x^2 = 0

Passo 9

Vamos resolver a equação 62x - 3672x^2 = 0 :
62x = 3672x^2
Multiplicando ambos os lados por x^2 :
62x^3 = 3672
Dividindo por 62:
x^3 = 367262 = 59.1613
Extraindo a raiz cúbica:
x = raiz[3]59.1613 approx 3.89 metros

Passo 10

Agora que temos o valor de x , podemos encontrar h :
h = 120x^2 = 120(3.89)^2 approx 12015.13 approx 7.93 metros

Passo 11

Com x approx 3.89 metros e h approx 7.93 metros, vamos calcular o custo mínimo usando a função de custo:
C = 31x^2 + 3672x
Substituindo os valores:
C = 31 times (3.89)^2 + 36723.89 approx 31 times 15.13 + 943.24 approx 468.03 + 943.24 approx 1411.27 reais

Resposta

O custo mínimo para construir a caixa é de R$ 1411,2700.

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