Queremos construir uma caixa com tampa, cujo comprimento da base é 5 vezes a largura da base. O material utilizado para construir a parte superior e inferior custa
3.1 m^{2}
R $2.55 m^{2}
600 \mathrm{~m}^{3}$, determine qual o custo mínimo para essa caixa em reais.
Insira a resposta com quatro casas decimais.
Insira a resposta com quatro casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir uma caixa com tampa onde o comprimento da base é 5 vezes a largura. O custo dos materiais varia: parte superior e inferior custam R$3,1 por metro quadrado, e os lados custam R$ 2,55 por metro quadrado. Além disso, a caixa deve ter um volume de 600 metros cúbicos. Nosso objetivo é encontrar qual é o custo mínimo para construir essa caixa. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo, especificamente otimização de funções.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões da caixa. Vamos chamar a largura da base de
metros. Como o comprimento é 5 vezes a largura, temos:
E vamos chamar a altura da caixa de
metros.
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Substituindo pelas variáveis que definimos:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar a altura
na equação acima para expressá-la em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área total dos materiais usados na caixa. A caixa tem tampa e base, além dos quatro lados.
- Área da tampa e base:
- Área dos lados:
Passo 6
Com as áreas calculadas, vamos agora determinar o custo total da caixa:
Substituindo os valores:
Passo 7
Lembrando que já encontramos
, vamos substituir isso na equação do custo:
Passo 8
Para encontrar o custo mínimo, precisamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Passo 9
Vamos resolver a equação
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 62:
Extraindo a raiz cúbica:
Passo 10
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar
:
Passo 11
Com
metros e
metros, vamos calcular o custo mínimo usando a função de custo:
Substituindo os valores:
Resposta
O custo mínimo para construir a caixa é de R$ 1411,2700.