Determine os valores de
e
de modo que a função
tenha um mínimo local em
. Nesse caso, o valor de
será
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os valores de
e
de forma que essa função tenha um mínimo local no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar máximos e mínimos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação de que o ponto
está na função. Isso significa que, quando
,
. Vamos substituir esses valores na função:
Calculando os termos:
Agora, simplificamos a equação:
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
Passo 3
Agora, para encontrar um mínimo local em
, precisamos que a primeira derivada da função seja igual a zero nesse ponto. Vamos calcular a derivada de
:
Aplicando
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
-
(Equação 1) -
(Equação 2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1:
Para somar as frações, vamos encontrar o denominador comum, que é 6:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos substituí-lo na Equação 2 para encontrar
:
Novamente, encontrando um denominador comum (6):
Resposta
O valor de
é
.