Determine os valores de a e b de modo que a função f(x)=a x^2+6 b x+9 x^3 tenha um mínimo local em (3,3). Nesse caso, o valor de a será
a. -1633
b. -4838
c. -4898
d. -1513
e. -1613

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = a x^2 + 6 b x + 9 x^3 e precisamos encontrar os valores de a e b de forma que essa função tenha um mínimo local no ponto (3,3) . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a identificar máximos e mínimos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que o ponto (3,3) está na função. Isso significa que, quando x = 3 , f(x) = 3 . Vamos substituir esses valores na função:
f(3) = a (3)^2 + 6 b (3) + 9 (3)^3 = 3
Calculando os termos:
9a + 18b + 243 = 3
Agora, simplificamos a equação:
9a + 18b = 3 - 243
9a + 18b = -240
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
3a + 6b = -80
a + 2b = -803 (Equação 1) çã

Passo 3

Agora, para encontrar um mínimo local em x = 3 , precisamos que a primeira derivada da função seja igual a zero nesse ponto. Vamos calcular a derivada de f(x) :
f'(x) = ddx (a x^2 + 6 b x + 9 x^3) = 2a x + 6b + 27x^2
Aplicando x = 3 :
f'(3) = 2a(3) + 6b + 27(3)^2 = 0
6a + 6b + 243 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
2a + 2b + 81 = 0
a + b = -812 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. a + 2b = -803 (Equação 1)
  2. a + b = -812 (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b . Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1:
(a + 2b) - (a + b) = -803 - (-812)
b = -803 + 812
Para somar as frações, vamos encontrar o denominador comum, que é 6:
b = -1606 + 2436 = 836

Passo 5

Com o valor de b encontrado, podemos substituí-lo na Equação 2 para encontrar a :
a + 836 = -812
a = -812 - 836
Novamente, encontrando um denominador comum (6):
a = -2436 - 836 = -3266 = -1633

Resposta

O valor de a é -1633 .

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