Para que a função f(x)=-7 H x^33+14 x^5 / 215+x^2 tenha concavidade para cima em algum intervalo contendo o ponto x=1, é necessário que H satisfaça:
a. H>44105
b. H>297
c. H>-328
d. H<44105
e. H<1128

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função do jeito:
f(x) = -7 H x^33 + 14 x^5 / 215 + x^2
Queremos descobrir para quais valores de H essa função tem concavidade para cima em algum intervalo que inclua o ponto x = 1 . Para isso, vamos precisar entender sobre concavidade e calcular derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada à sua segunda derivada. Se a segunda derivada f''(x) for positiva em algum intervalo, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Então, vamos começar calculando a primeira derivada f'(x) da função f(x) :
f(x) = -7 H x^33 + 14 x^5 / 215 + x^2
Derivando termo a termo:
  1. Para -7 H x^33 , a derivada é -7 H cdot 3 x^23 = -7 H x^2
  2. Para 14 x^5 / 215 , a derivada é 14 cdot 52 x^3 / 215 = 35 x^3 / 215 = 7 x^3 / 23
  3. Para x^2 , a derivada é 2x
Então, a primeira derivada fica:
f'(x) = -7 H x^2 + 7 x^3 / 23 + 2x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada f''(x) para analisar a concavidade. Derivando f'(x) :
f'(x) = -7 H x^2 + 7 x^3 / 23 + 2x
Derivando termo a termo:
  1. Para -7 H x^2 , a derivada é -7 H cdot 2x = -14 H x
  2. Para 7 x^3 / 23 , a derivada é 7 cdot 32 x^1 / 23 = 7 x^1 / 22
  3. Para 2x , a derivada é 2
Então, a segunda derivada fica:
f''(x) = -14 H x + 7 raizx2 + 2

Passo 4

Queremos que a concavidade seja para cima no ponto x = 1 . Isso significa que f''(1) deve ser maior que zero. Vamos calcular f''(1) :
Substituindo x = 1 na segunda derivada:
f''(1) = -14 H (1) + 7 raiz12 + 2 = -14 H + 72 + 2
Simplificando:
f''(1) = -14 H + 72 + 42 = -14 H + 112
Queremos que isso seja maior que zero:
-14 H + 112 > 0
Vamos resolver para H :
-14 H > -112
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre que isso inverte a desigualdade):
14 H < 112
Dividindo ambos os lados por 14:
H < 1128

Resposta

A alternativa correta é:
e. H < 1128

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