Para que a função
tenha concavidade para cima em algum intervalo contendo o ponto
, é necessário que
satisfaça:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função do jeito:
Queremos descobrir para quais valores de
essa função tem concavidade para cima em algum intervalo que inclua o ponto
. Para isso, vamos precisar entender sobre concavidade e calcular derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função está relacionada à sua segunda derivada. Se a segunda derivada
for positiva em algum intervalo, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Então, vamos começar calculando a primeira derivada
da função
:
Derivando termo a termo:
- Para
, a derivada é - Para
, a derivada é - Para
, a derivada é
Então, a primeira derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
para analisar a concavidade. Derivando
:
Derivando termo a termo:
- Para
, a derivada é - Para
, a derivada é - Para
, a derivada é
Então, a segunda derivada fica:
Passo 4
Queremos que a concavidade seja para cima no ponto
. Isso significa que
deve ser maior que zero. Vamos calcular
:
Substituindo
na segunda derivada:
Simplificando:
Queremos que isso seja maior que zero:
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
(lembre que isso inverte a desigualdade):
Dividindo ambos os lados por 14:
Resposta
A alternativa correta é:
e.