Determine os valores de m de modo que a reta ® de equação 3 x+4 y-m=0 seja tangente em relação a circunferência (lambda) x^2+y^2+4 x-2 y-4=0. Escolha uma opção:
() m=-16 or m=12
() m=17 ou m=13
() m=-12 ou m=3
  • m=-17 ou m=13
    () m=-17 ou m=-13

Passo 1

O enunciado pede os valores de m para que a reta
3x + 4y - m = 0
seja tangente à circunferência
x^2 + y^2 + 4x - 2y -4 = 0
Isso envolve duas ideias principais: colocar a circunferência na forma centro-raio e usar a condição de tangência via distância do centro à reta igual ao raio.

Passo 2

Vamos escrever a circunferência em forma canônica. Começamos por completar quadrados:
x^2 + 4x + y^2 -2y = 4
(x+2)^2 - 4 + (y-1)^2 - 1 = 4
(x+2)^2 + (y-1)^2 = 9
Logo, o centro é C=(-2,1) e o raio é r=3.

Passo 3

A distância de um ponto (x0,y0) à reta Ax+By+C=0 é
|Ax0+By0+C|raizA^2+B^2
Na reta 3x+4y-m=0 temos A=3, B=4, C=-m. Para o centro C=(-2,1):
d = l|3(-2)+4(1)-mr|raiz3^2+4^2 = |-6+4 - m|5 = |-(m+2)|5 = |m+2|5
Para ser tangente, d deve ser igual a r=3, isto é
|m+2|5 = 3

Passo 4

Resolvendo
|m+2| = 15
temos duas possibilidades:
m+2 = 15 Longrightarrow m = 13,
m+2 = -15 Longrightarrow m = -17

Resposta

Os valores de m são -17 e 13.

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