A série sumn=1^+infty 2(-5)^-n é convergente. A soma da referida série é igual a:

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=1^infty2(-5)^-n
Isso é um caso de série geométrica infinita. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo e a razão, verificar a condição de convergência e aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

O primeiro termo da série (quando n=1) é
a = 2(-5)^-1 = 2cdotl(-tfrac15r) = -tfrac25,
e a razão comum é
r = (-5)^-1 = -tfrac15

Passo 3

Uma série geométrica infinita sumn=1^infty a,r^,n-1 converge se lvert rrvert<1. Aqui lvert rrvert = tfrac15<1, então a soma existe e vale
S = a1-r

Passo 4

Substituindo a=-tfrac25 e r=-tfrac15 na fórmula:
S = -tfrac251 - l(-tfrac15r) = -tfrac251 + tfrac15 = -tfrac25tfrac65 = -25cdot56 = -26 = -13

Resposta

-tfrac13

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