Determine valores para e de modo que o sistema abaixo:
Não tenha solução;
Tenha uma única solução;
Tenha infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
x + h,y = 2,[6pt] 4x + 8,y = k
e pede valores de h e k para que o sistema não tenha solução, tenha solução única ou infinitas soluções. Vamos usar o critério de Cramer, olhando o determinante da matriz de coeficientes e a consistência do sistema quando esse determinante for zero.]
Passo 2
Calcule o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & h [3pt]4 & 8
pela fórmula
det(A)=1cdot8 - 4cdot h = 8 - 4h
Se det(A)neq0, isto é,
8 - 4h neq 0 Long<=ftrightarrow h neq 2,
então o sistema tem solução única (pois Cramer garante isso) para qualquer valor de k.]
Passo 3
Quando det(A)=0, temos 8-4h=0 ou seja h=2. Nesse caso as duas equações têm o mesmo vetor de coeficientes (proporcionais), e só dependemos de k para decidir consistência:
A primeira equação vira
x + 2y = 2
e a segunda é
4x + 8y = k
Note que multiplicando a primeira por 4 obtemos 4x+8y=8.
Se k=8, a segunda equação coincide com a primeira vezes 4, logo são redundantes e o sistema tem infinitas soluções.
Se kneq8, a segunda equação diverge da primeira (mesmo coeficientes mas termos constantes diferentes), gerando inconsistência e, portanto, nenhuma solução.