Determine valores para h e k de modo que o sistema abaixo:
  • Não tenha solução;
  • Tenha uma única solução;
  • Tenha infinitas soluções.
    x+h y & =2 4 x+8 y & =k

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x + h,y = 2,[6pt] 4x + 8,y = k
e pede valores de h e k para que o sistema não tenha solução, tenha solução única ou infinitas soluções. Vamos usar o critério de Cramer, olhando o determinante da matriz de coeficientes e a consistência do sistema quando esse determinante for zero.]

Passo 2

Calcule o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & h [3pt]4 & 8
pela fórmula
det(A)=1cdot8 - 4cdot h = 8 - 4h
Se det(A)neq0, isto é,
8 - 4h neq 0 Long<=ftrightarrow h neq 2,
então o sistema tem solução única (pois Cramer garante isso) para qualquer valor de k.]

Passo 3

Quando det(A)=0, temos 8-4h=0 ou seja h=2. Nesse caso as duas equações têm o mesmo vetor de coeficientes (proporcionais), e só dependemos de k para decidir consistência:
A primeira equação vira
x + 2y = 2
e a segunda é
4x + 8y = k
Note que multiplicando a primeira por 4 obtemos 4x+8y=8.
  • Se k=8, a segunda equação coincide com a primeira vezes 4, logo são redundantes e o sistema tem infinitas soluções.
  • Se kneq8, a segunda equação diverge da primeira (mesmo coeficientes mas termos constantes diferentes), gerando inconsistência e, portanto, nenhuma solução.

Resposta

Não tem solução para
h = 2, k neq 8
Tem única solução para
h neq 2(qualquer k)
Tem infinitas soluções para
h = 2, k = 8

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